b^2/(a^2+ab)不是整数

题 a,b是正整数，证明：\frac{b^2}{a^2+ab}不是整数。
证法1 假设\frac{b^2}{a^2+ab}=k是正整数，则关于b的二次方程b^2-kab-ka^2=0\\
有正整数解，这说明\Delta =k^2a^2+4ka^2是平方数。
由a\in \mathbb N_+，故k^2+4k是平方数。
另一方面，因k^k<k^2+4k<(k+2)^2，故k^2+4k=(k+1)^2。
展开移项化简得：2k=1，这与k是正整数矛盾。
所以假设不成立，所以 \frac{b^2}{a^2+ab}不是整数。

证法2 \frac{b^2}{a^2+ab} = \frac{(\frac{b}{a})^2}{1+\frac{b}a}=\frac{b}a-1+\frac{1}{1+\frac{b}a}=1+\frac{b}a-2+\frac{1}{1+\frac{b}a}
假设 \frac{b^2}{a^2+ab}\\
是整数，那么1+\frac{b}a+\frac{1}{1+\frac{b}a}\\
是整数，这与以下命题矛盾：
任何一个大于1的有理数，与它的倒数相加不是整数。
写成形式语言就是：\forall x\in \mathbb Q,x>1,x+\frac{1}x \notin \mathbb Z。
\blacksquare

评注 证法2的变形利用齐次有理式的性质。

©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

推荐阅读更多精彩内容