有素特征p的域中的非零元在其加法群中的阶为p

柯斯特利金代数学引论第一卷139页提到标题所述命题，但未完整证明。现在我给出证明。

命题： $(charF=p)\Rightarrow ( \forall x\in F\backslash \{0\}(|x|=p) )$

证明：

首先，证明在加法群中，任意非零元的p次累加为0. $px=x+x+…+x=(1+1+…+1)x=(p\cdot1)x=0x=0$

其次，证明不可能有 $0<q<p$ ，使得 $qx=0$ ，用反证法证明如下：

倘若存在这样的q，则： $\exists s,t\in \mathbb{Z}(sp+tq=1)$

$x=1x=(sp+tq)x=0$ 矛盾。

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最后编辑于：2024.01.26 14:17:07

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