微梁的扭转计算与多负载下的变形

基本的扭转知识

\theta = \frac{TL}{aG}
a为形状系数
对矩形梁有
a = \frac{WH^3}{16}[\frac{1}{3}-0.21\frac{H}{W}(1-\frac{H^4}{12W^4})]
其等效弹性系数为
k = \frac{T}{\theta} = \frac{GWH^3}{16L}[\frac{1}{3}-0.21\frac{H}{W}(1-\frac{H^4}{12W^4})]

薄板与薄膜

横向物理几何尺寸L比其厚度h至少要大5倍以上的弹性物理结构才能被称为薄板
L/h>100以上的薄板称之为薄膜
但是二者实际上并没有特别明确的定义。

矩形薄板

在这里插入图片描述

对矩形薄板而言，其弯曲的基本方程为

其中P为均匀压强，E为杨氏模量，为泊松比

D = \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}为薄板弯曲的刚度函数
在直角坐标系下
(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2})(\frac{\partial^2w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2w}{\partial y^2})=\frac{P}{D}
将弯曲方程分解为两轴可得
M_x = -D(\frac{\partial^2w}{\partial x^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partial y^2})
M_y = -D(\nu \frac{\partial^2w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2w}{\partial y^2})

在各个方向上的最大应力分布为
(\sigma_{xx})_{max}=\frac{12(M_x)_{max}}{h^2}
(\sigma_{yy})_{max}=\frac{12(M_y)_{max}}{h^2}

周边紧固圆形薄板

在这里插入图片描述

中心位置最大挠度


因此其对压力的弹性系数

对压强的弹性系数

在中心处径向应力和切向应力相等，有

在边缘处径向应力最大

切向应力也最大

但是由于泊松比小于1所以径向力比切向力大。

周边紧固矩形薄板

最大挠度发生在质心
w_{max}=\alpha \frac{Pb^4}{Eh^3}
最大应力发生在长边中心
\sigma_{max}=\beta \frac{Pb^2}{h^2}

在这里插入图片描述

其对于压强的弹性系数为

周边紧固正方形薄板

就是特殊的矩形薄板
w_{max}=0.0138 \frac{Pa^4}{Eh^3}
\sigma_{max}=0.3078 \frac{Pa^2}{h^2}
k = \frac{Eh^3}{0.0138a^4}

残余应力下的正方形薄膜结构

\sigma_0为残余应力
可有
P = \{ C_r[\frac{\sigma_0h}{a^2}]+C_b[\frac{Eh^3}{(1-\nu)a^4}] \}c + C_sf_s(\nu)[\frac{Eh}{(1-\nu)a^4}]c^3
因此
k= C_r[\frac{\sigma_0h}{a^2}]+C_b[\frac{Eh^3}{(1-\nu)a^4}] + C_sf_s(\nu)[\frac{Eh}{(1-\nu)a^4}]c^2
与无残余应变的k = \frac{Eh^3}{0.0138a^4}相比
增加了残余应力带来的线性项以及与挠度有关的非线性项。

没错又是近似

如果薄膜厚度h<<a，则可以进行近似
P = C_r[\frac{\sigma_0h}{a^2}]c + C_sf_s(\nu)[\frac{Eh}{(1-\nu)a^4}]c^3
k = C_r[\frac{\sigma_0h}{a^2}] + C_sf_s(\nu)[\frac{Eh}{(1-\nu)a^4}]c^2
典型的经验数值有
C_r = 13.64
C_s = 21.92
f_s(\nu)=1.446 -0.427\nu

残余应力的影响

残余应力可能导致弹性结构的实际弹性特性与理论设计结果存在一定的差异，如果残余应力过大，可能表现出较强的非线性弹性特性，甚至可能导致弹性结构的实际弹性特性发生本质上的变化
薄膜结构的残余应力可以等效为加载在物理结构上的额外均匀载荷

残余应力对功能结构强度的影响

如果存在残余应力\sigma_0
则要求\sigma_{max}+\sigma_{0}\leq \sigma_s
相当于降低了材料原来的屈服强度

残余应力对功能结构弹性特性的影响

假设功能结构的实际工作载荷为均匀载荷q，功能结构的弹性系数为k，功能结构在上述条件下产生的变形量（挠度）为w。那么，根据胡克定理应该有：
q ±q_0= kw

所以
k' = k \mp \frac{q_0}{w}
出现了非线性因子\frac{q_0}{w}

多负载下的变形

根据材料力学的负载叠加原理，有
w = \Sigma_i^nw_i
\theta = \Sigma_i^n\theta_i

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