“圣经中并没有说过一切大自然的定律都可以用线性方程来表示”
——恩里科·费米
虽然教材上的数学证明题总是能基于固定的公理在有限步内证完，哥德尔的著名工作却告诉我们存在着无限多根本不能这样证出的真命题。类似的事情同样也出现在物理学中，不妨引用理查德·费曼的演说中的一段来表达这种困惑：
It always bothers me that, according to the laws as we understand them today, it takes a computing machine an infinite number of logical operations to figure out what goes on in no matter how tiny a region of space, and no matter how tiny a region of time. How can all that be going on in that tiny space? Why should it take an infinite amount of logic to figure out what one tiny piece of space/time is going to do?
乍一看这不是什么问题，有限步运算本来就无法给出有界连续变量的大多数取值（反正有不可数无穷多个），而物理学允许做有效近似，能用有限步运算逼近到充分的精度就算是成功了。但是，这并没有完全消除疑问，费曼本人探讨物理现象的计算机仿真时就特别提及：即使做了全面离散化也不保证仿真的有效性，从而所谓有限自然假说的初衷无法满足（拙作《一种旧科学》论及此事）。不过，费曼说明的只是运算步数随尺度指数增长，在有限尺度上并不会真的发散。
把这种矛盾推向极端的是下面的事实：在实数域上存在无限多不可计算的连续函数，并且求导和积分不保持可计算性。描述某个物理体系的微分方程完全可以有一个不可计算的解，不满足“总能用有限步运算逼近到充分的精度”的条件。换言之，有效的数值解都不会存在（更不用说解析解了）。这种体系更符合费曼原文描述的情况：我们非得用“无限的逻辑”才能理解“有限的时空”中的演化，即使做了近似也帮不上多大忙。
上世纪80年代，文献[1]早已用机械波构造出了初始条件可计算，但解一般不可计算的一个范例。不可计算性会导致初始条件精确已知时依然难以做长期预测，而可计算的混沌则会失去威力。显然，论起“证明决定论的失败”“体现了大自然不可预测”之类的特征，单纯的混沌在不可计算现象面前根本是小巫见大巫（文献[2]则早就对比了这两种不可预测性，得出上述结论）。
引用费米的话以强调非线性研究的人可能会非常看重数值计算的作用，经验告诉他们，面对没有解析解的非线性方程，数值近似是有力的武器——但是那同时也就不知不觉假设了算法可解性，一个同样是“圣经里”没有的假设。不晓得费米倘若意识到数值计算的局限性，会不会说：凭什么大自然的规律就要都能被计算机表示呢？上帝玩电脑上了瘾？
存在不可计算的物理现象，固然会使大自然显得更加高深莫测，但能有什么应用呢？在最乐观的情况下，它们可被利用于制造突破现有计算设备根本限制的超凡计算机——不受丘奇-图灵论题约束的强力装置，有时也被称作“跨越图灵屏障（Bypassing Turing's barrier）”。
显然，不可计算的物理现象至少可以帮助我们完成一个图灵机做不好的任务——仿真它自己。但要做出实用的计算机，必须要说明能将有意义的难题化归为前者。幸好，这点在原理上是可行的。
例如，先前的不可计算机械波，就曾被提议用于构造能做超凡计算的“声波计算机”。更具物理意义的设想则是利用广义相对论中的Malament–Hogarth时空来进行超凡计算，事实上，可以证明存在一族所允许的超凡计算能力逐级递增的时空结构，它们依次能判定不可解度不同的集合。看起来，计算机还有无限的潜力等待着发掘呢。
只是现实并没有这么乐观。至今为止，图灵屏障依然没有被跨越。一个常见的误解是：因为计算机的存储容量和运行时间是有限的，物理观测的精度也是有限的，所以追求理想情况下的超凡计算毫无必要，反正现实中只能做有限计算。这并不是个正确的反对理由，超凡计算机被限制在有限状态后，仍可能有大幅节约计算资源的优势。文献[3]列举了阻碍超凡计算可行性的一些物理因素，相对单纯的“计算有限性”要更加具体合理。
现在让我们切换到悲观角度来看问题。假如这些不可计算现象确实是不可利用的，可实行的计算最终还是脱离不了图灵机的能力范围，就回到了本文一开始所述的情形：图灵屏障阻止我们去“看清”一部分自然现象。那么还有一件事情是很值得做的：弄清楚这种异常背后的原因（啊，对此，我完全没有头绪……）。
参考文献：
[1] Advances in mathematics 39,215-239（1981）
