原文在此，仅仅将原文的Matlab代码改为Python3版本。
特征值与特征向量的几何意义
矩阵的乘法是什么，别只告诉我只是“前一个矩阵的行乘以后一个矩阵的列”，还会一点的可能还会说“前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数才能相乘”，然而，这里却会和你说——那都是表象。
矩阵乘法真正的含义是变换，我们学《线性代数》一开始就学行变换列变换，那才是线代的核心——别会了点猫腻就忘了本——对，矩阵乘法：
就是线性变换，若以其中一个向量A为中心，则B的作用主要是使A发生如下变化：
1. 伸缩
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties
#设置中文字体
myfont = FontProperties(fname='C:/Windows/Fonts/msyh.ttc')
以上几行为下面三段代码相同的铺垫部分，后面不再重复
A = np.array([[0, 1, 1, 0, 0],[1, 1, 0, 0, 1]]) #原空间
B = np.array([[3,0],[0,2]]) #线性变换矩阵
Y = np.dot(B,A)
plt.clf()
plt.plot(A[0],A[1],'-*',lw=2)
plt.text(0.6,1.03,u'变换前',fontsize =14,fontproperties=myfont)
plt.plot(Y[0],Y[1],'-r*',lw=2)
#font size: xx-small;x-small;small;medium;large;x-large;xx-large
plt.text(0.6,2.03,u'变换后',fontsize ='large',fontproperties=myfont)
plt.axis([0,3,0,3]);plt.grid(True)
plt.show()
从上图可知，y方向进行了2倍的拉伸，x方向进行了3倍的拉伸，这就是B=[3 0; 0 2]的功劳,3和2就是伸缩比例。请注意，这时B除了对角线元素为各个维度的倍数外，非正对角线元素都为0，因为下面将要看到，对角线元素非0则将会发生切变及旋转的效果。
2. 切变
A = np.array([[0, 1, 1, 0, 0],[1, 1, 0, 0, 1]]) #原空间
plt.clf()
B1=np.array([[1,0],[1,1]])
B2=np.array([[1,0],[-1,1]])
B3=np.array([[1,1],[0,1]])
B4=np.array([[1,-1],[0,1]])
Y1 = np.dot(B1,A)
Y2 = np.dot(B2,A)
Y3 = np.dot(B3,A)
Y4 = np.dot(B4,A)
plt.subplot(221)
plt.plot(A[0],A[1],'-*',lw=2)
plt.plot(Y1[0],Y1[1],'-r*',lw=2)
plt.axis([-1,3,-1,3]);plt.grid(True)
plt.subplot(222)
plt.plot(A[0],A[1],'-*',lw=2)
plt.plot(Y2[0],Y2[1],'-r*',lw=2)
plt.axis([-1,3,-1,3]);plt.grid(True)
plt.subplot(223)
plt.plot(A[0],A[1],'-*',lw=2)
plt.plot(Y3[0],Y3[1],'-r*',lw=2)
plt.axis([-1,3,-1,3]);plt.grid(True)
plt.subplot(224)
plt.plot(A[0],A[1],'-*',lw=2)
plt.plot(Y4[0],Y4[1],'-r*',lw=2)
plt.axis([-1,3,-1,3]);plt.grid(True)
plt.show()
3. 旋转
所有的变换其实都可以通过上面的伸缩和切变变换的到，如果合理地对变换矩阵B取值，能得到图形旋转的效果，如下：
A = np.array([[0, 1, 1, 0, 0],[1, 1, 0, 0, 1]]) #原空间
plt.clf()
theta = np.pi/6
Bt=np.array([[np.cos(theta),np.sin(theta)],[-np.sin(theta),np.cos(theta)]])
Yt = np.dot(Bt,A)
plt.plot(A[0],A[1],'-*',lw=2)
plt.plot(Yt[0],Yt[1],'-r*',lw=2)
plt.axis([-1,3,-1,3]);plt.grid(True)
plt.show()
好，关于矩阵乘就这些了。那么，我们接着就进入主题了，对特定的向量，经过一种方阵变换，经过该变换后，向量的方向不变（或只是反向），而只是进行伸缩变化（伸缩值可以是负值，相当于向量的方向反向）？这个时候我们不妨将书上对特征向量的定义对照一遍：
数学教材定义： 设A是n阶方阵，如果存在 λ 和n维非零向量X，使
则 λ 称为方阵A的一个特征值，X为方阵A对应于或属于特征值 λ 的一个特征向量。
上面特定的向量不就是特征向量吗？ λ 不就是那个伸缩的倍数吗？因此，特征向量的代数上含义是：将矩阵乘法转换为数乘操作；特征向量的几何含义是：特征向量通过方阵A变换只进行伸缩，而保持特征向量的方向不变。特征值表示的是这个特征到底有多重要，类似于权重，而特征向量在几何上就是一个点，从原点到该点的方向表示向量的方向。
特征向量有一个重要的性质：同一特征值的任意多个特征向量的线性组合仍然是A属于同一特征值的特征向量。关于特征值，网上有一段关于“特征值是震动的谱”的解释：
戏说在朝代宋的时候，我国就与发现矩阵特征值理论的机会擦肩而过。话说没有出息的秦少游在往池塘里扔了一颗小石头后，刚得到一句“投石冲开水底天”的泡妞诗对之后，就猴急猴急地去洞房了，全然没有想到水波中隐含着矩阵的特征值及特征向量的科学大道理。大概地说，水面附近的任一点水珠在原处上下振动（实际上在做近似圆周运动），并没有随着波浪向外圈移动，同时这些上下振动的水珠的幅度在渐渐变小，直至趋于平静。在由某块有着特定质量和形状的石头被以某种角度和速度投入某个面积和深度特定的水池中所决定的某个矩阵中，纹波荡漾中水珠的渐变过程中其特征值起着决定性的作用，它决定着水珠振动的频率和幅度减弱的衰退率。
在理解关于振动的特征值和特征向量的过程中，需要加入复向量和复矩阵的概念，因为在实际应用中，实向量和实矩阵是干不了多少事的。机械振动和电振动有频谱，振动的某个频率具有某个幅度；那么矩阵也有矩阵的谱，矩阵的谱就是矩阵特征值的概念，是矩阵所固有的特性，所有的特征值形成了矩阵的一个频谱，每个特征值是矩阵的一个“谐振频点”。
美国数学家斯特让（G..Strang）在其经典教材《线性代数及其应用》中这样介绍了特征值作为频率的物理意义，他说：
大概最简单的例子（我从不相信其真实性，虽然据说1831年有一桥梁毁于此因）是一对士兵通过桥梁的例子。传统上，他们要停止齐步前进而要散步通过。这个理由是因为他们可能以等于桥的特征值之一的频率齐步行进，从而将发生共振。就像孩子的秋千那样，你一旦注意到一个秋千的频率，和此频率相配，你就使频率荡得更高。一个工程师总是试图使他的桥梁或他的火箭的自然频率远离风的频率或液体燃料的频率；而在另一种极端情况，一个证券经纪人则尽毕生精力于努力到达市场的自然频率线。特征值是几乎任何一个动力系统的最重要的特征。
其实，这个矩阵之所以能形成“频率的谱”，就是因为矩阵在特征向量所指的方向上具有对向量产生恒定的变换作用：增强（或减弱）特征向量的作用。进一步的，如果矩阵持续地叠代作用于向量，那么特征向量的就会凸现出来。
更多关于特征向量及特征值的实际例子参见 Wikipedia：特征向量 。
特征值分解
设A有n个特征值及特征向量，则：
若(x1,x2,...,xn)可逆，则左右两边都求逆，则方阵A可直接通过特征值和特征向量进行唯一的表示，令
Q=(x1,x2,...,xn)
该表达式称为方阵的特征值分解，这样方阵A就被特征值和特征向量唯一表示。
一个变换方阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基。所谓基，可以理解为坐标系的轴。我们平常用到的大多是直角坐标系，在线性代数中可以把这个坐标系扭曲、拉伸、旋转，称为基变换。我们可以按需求去设定基，但是基的轴之间必须是线性无关的，也就是保证坐标系的不同轴不要指向同一个方向或可以被别的轴组合而成，否则的话原来的空间就“撑”不起来了。从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。不过，特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。
在机器学习特征提取中，意思就是最大特征值对应的特征向量方向上包含最多的信息量，如果某几个特征值很小，说明这几个方向信息量很小，可以用来降维，也就是删除小特征值对应方向的数据，只保留大特征值方向对应的数据，这样做以后数据量减小，但有用信息量变化不大，PCA降维就是基于这种思路。
Matlab中通过eig函数就可求得特征值和特征向量矩阵。
import numpy as np
eps = np.finfo(float).eps
B = np.array([[3,-2,-.9,2*eps],[-2,4,1,-eps],[-eps/4,eps/2,-1,0],[-.5,-.5,.1,1]])
D,V = np.linalg.eig(B)
print('Q=\n',V,'\nD=\n',np.diag(D))
# 输出
>>>Q=
[[ 6.15301856e-01 -4.17622470e-01 -5.88210528e-17 -1.52821436e-01]
[ -7.88064099e-01 -3.26069771e-01 0.00000000e+00 1.34482863e-01]
[ -2.11573219e-17 -5.96872041e-18 -3.31484838e-18 -9.78057188e-01]
[ 1.89367800e-02 8.48097858e-01 -1.00000000e+00 4.43182164e-02]]
D=
[[ 5.56155281 0. 0. 0. ]
[ 0. 1.43844719 0. 0. ]
[ 0. 0. 1. 0. ]
[ 0. 0. 0. -1. ]]
D对角线的元素即为特征值（表示了伸缩的比例），D就是特征值分解公式中的Q，V的每一列与D没列对应，表示对应的特征向量，即特征值分解中的Σ。
奇异值分解
（节选自小节标题链接的原文，感谢原作者）
特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只适用于方阵。而在现实的世界中，我们看到的大部分矩阵都不是方阵，比如说有M个学生，每个学生有N科成绩，这样形成的一个M * N的矩阵就可能不是方阵，我们怎样才能像描述特征值一样描述这样一般矩阵呢的重要特征呢？奇异值分解就是用来干这个事的，奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法。我们有必要先说说特征值和奇异值之间的关系。
对于特征值分解公式， ATA 是方阵，我们求 ATA 的特征值，即注：下面的数学公式中，T都应该是上角标
此时求得的特征值就对应奇异值的平方，求得的特征向量v称为右奇异向量，另外还可以得到：
所求的ui就是左奇异向量， σi 就是奇异值。
对于奇异值分解，已有人对SVD的几何机理做了清晰的分析，此文公式图片较多，就不一个个的复制粘贴了，直接截图贴上，如有需要请点击小节标题跳转至原文。
SVD分解实例
SVD之所以很有效，是因为：在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。在这里，我们用图像简单的实践一下SVD的大妙处，下面是python对图像进行SVD分解的例子：
import numpy as np
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties
#设置中文字体
myfont = FontProperties(fname='C:/Windows/Fonts/msyh.ttc')
im = np.array(Image.open('lena.jpg').convert('L'),dtype=np.float32)
u,s,v = np.linalg.svd(im)
recv1 = np.dot(np.dot(u[:,:20],np.diag(s[:50])[:20,:50]),v[:50,:]) #svd取最高的20个特征值进行恢复
recv2 = np.dot(np.dot(u[:,:50],np.diag(s[:100])[:50,:100]),v[:100,:]) #svd取最高的50个特征值进行恢复
recv3 = np.dot(np.dot(u[:,:200],np.diag(s[:200])),v[:200,:]) #svd取最高的200个特征值进行恢复
plt.clf()
plt.figure(1)
plt.subplot(221)
plt.imshow(im,cmap=plt.get_cmap('gray'))
plt.title(u'原图',fontsize ='large',fontproperties=myfont)
plt.subplot(222)
plt.imshow(recv1,cmap=plt.get_cmap('gray'))
plt.title(u'恢复：左奇异20、右奇异50',fontsize ='large',fontproperties=myfont)
plt.subplot(223)
plt.imshow(recv2,cmap=plt.get_cmap('gray'))
plt.title(u'恢复：左奇异50、右奇异100',fontsize ='large',fontproperties=myfont)
plt.subplot(224)
plt.imshow(recv3,cmap=plt.get_cmap('gray'))
plt.title(u'恢复：左奇异200、右奇异200',fontsize ='large',fontproperties=myfont)
plt.show()
如果按左下角的方式压缩原图，则存储量变为：50x50+100x100+50=12500，而存储原图像的存储量为512x512=262144，则压缩比为262144/12500=20.97，这里没有考虑存储数据类型的差异。
SVD分解相对于特征值分解的优势就是：
- 分解的矩阵可以是任意矩阵
- 在恢复信号的时候左右奇异值可以选择不同的维度
另外值得注意的一点：不论是奇异值分解还是特征值分解，分解出来的特征向量都是正交的。
奇异值分解与PCA
（节选自小节标题链接的原文，感谢原作者）
主成分分析在上一节里面也讲了一些，这里主要谈谈如何用SVD去解PCA的问题。PCA的问题其实是一个基的变换，使得变换后的数据有着最大的方差。方差的大小描述的是一个变量的信息量，我们在讲一个东西的稳定性的时候，往往说要减小方差，如果一个模型的方差很大，那就说明模型不稳定了。但是对于我们用于机器学习的数据（主要是训练数据），方差大才有意义，不然输入的数据都是同一个点，那方差就为0了，这样输入的多个数据就等同于一个数据了。以下面这张图为例子：
这个假设是一个摄像机采集一个物体运动得到的图片，上面的点表示物体运动的位置，假如我们想要用一条直线去拟合这些点，那我们会选择什么方向的线呢？当然是图上标有signal的那条线。如果我们把这些点单纯的投影到x轴或者y轴上，最后在x轴与y轴上得到的方差是相似的（因为这些点的趋势是在45度左右的方向，所以投影到x轴或者y轴上都是类似的），如果我们使用原来的xy坐标系去看这些点，容易看不出来这些点真正的方向是什么。但是如果我们进行坐标系的变化，横轴变成了signal的方向，纵轴变成了noise的方向，则就很容易发现什么方向的方差大，什么方向的方差小了。
一般来说，方差大的方向是信号的方向，方差小的方向是噪声的方向，我们在数据挖掘中或者数字信号处理中，往往要提高信号与噪声的比例，也就是信噪比。对上图来说，如果我们只保留signal方向的数据，也可以对原数据进行不错的近似了。
PCA的全部工作简单点说，就是对原始的空间中顺序地找一组相互正交的坐标轴，第一个轴是使得方差最大的，第二个轴是在与第一个轴正交的平面中使得方差最大的，第三个轴是在与第1、2个轴正交的平面中方差最大的，这样假设在N维空间中，我们可以找到N个这样的坐标轴，我们取前r个去近似这个空间，这样就从一个N维的空间压缩到r维的空间了，但是我们选择的r个坐标轴能够使得空间的压缩使得数据的损失最小。
还是假设我们矩阵每一行表示一个样本，每一列表示一个feature，用矩阵的语言来表示，将一个m * n的矩阵A的进行坐标轴的变化，P就是一个变换的矩阵从一个N维的空间变换到另一个N维的空间，在空间中就会进行一些类似于旋转、拉伸的变化。
而将一个m * n的矩阵A变换成一个m * r的矩阵，这样就会使得本来有n个feature的，变成了有r个feature了（r < n)，这r个其实就是对n个feature的一种提炼，我们就把这个称为feature的压缩。用数学语言表示就是：
但是这个怎么和SVD扯上关系呢？之前谈到，SVD得出的奇异向量也是从奇异值由大到小排列的，按PCA的观点来看，就是方差最大的坐标轴就是第一个奇异向量，方差次大的坐标轴就是第二个奇异向量…我们回忆一下之前得到的SVD式子：
在矩阵的两边同时乘上一个矩阵V，由于V是一个正交的矩阵，所以V转置乘以V得到单位阵I，所以可以化成后面的式子
将后面的式子与A * P那个m * n的矩阵变换为m * r的矩阵的式子对照看看，在这里，其实V就是P，也就是一个变化的向量。这里是将一个m * n 的矩阵压缩到一个m * r的矩阵，也就是对列进行压缩，如果我们想对行进行压缩（在PCA的观点下，对行进行压缩可以理解为，将一些相似的sample合并在一起，或者将一些没有太大价值的sample去掉）怎么办呢？同样我们写出一个通用的行压缩例子：
这样就从一个m行的矩阵压缩到一个r行的矩阵了，对SVD来说也是一样的，我们对SVD分解的式子两边乘以U的转置U'
这样我们就得到了对行进行压缩的式子。可以看出，其实PCA几乎可以说是对SVD的一个包装，如果我们实现了SVD，那也就实现了PCA了，而且更好的地方是，有了SVD，我们就可以得到两个方向的PCA，如果我们对A’A进行特征值的分解，只能得到一个方向的PCA。
PCA就是一种用于对数据进行降维的方法（降维肯定会丢失数据，只不过能在减少大量存储量的同时损失尽可能少），参见之前matlab对图像进行SVD分解的例子，更容易理解：实现了SVD就实现了PCA，PCA仅是SVD的包装。
PCA的应用很广，主要用在机器学习中对特征进行降维，还能用于去噪，下面两图是PCA降维和PCA去噪的例子（图片来自邹博PPT：北京9月秋季班·机器学习初步）
降维说白了就是将信息通过投影到更低得多维度，这样必然会带来信息的丢失，但就如上图，这种信息的丢失却有时对分类没有影响，反而能降低识别算法的维度，提高速度，缓解所谓的维度灾难。
PCA去噪的前提是噪声的特征值会比信号的特征值小，即信噪比高的情况，否则PCA去噪会产生逆效果——把信号去掉了而噪声没去掉。
SVD其它
SVD还有其它很多方面的应用，通过查找资料，这里先做个简单的罗列，有机会再一个个研究：
- 求伪逆。我们知道，矩阵求逆要求矩阵必须是方阵，SVD可以用来求任意矩阵的逆运算，求任意矩阵的逆矩阵称为求伪逆
- 最小二乘法求解。凭着对《矩阵论》的零星的记忆，SVD算法就是因为能求伪逆所以用来求解最小二乘法。
- 基于SVD的文本分类。首先接触是从吴军老师的《数学之美》一书上看到的，大致是：通过TF/IDF(term frequency/inverse document frequency)构建“一百万篇文章和五十万词的关联性”的矩阵 A1000000x500000
，然后对A矩阵使用SVD分解之后，存储量减小，而且左奇异值矩阵和右奇异值矩阵以及奇异值矩阵的物理含义将非常明晰，此处博文 有简单介绍，更多参见吴军老师的《数学之美》
另外，开源视觉库OpenCV中也提供SVD分解的算法。
参考
- 强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用
- http://blog.sciencenet.cn/blog-696950-699432.html ，关于SVD部分的讲解即出自此处。
- http://www.cise.ufl.edu/~srajaman/Rajamanickam_S.pdf
- July培训班PPT：“北京9月秋季班：贝叶斯、PCA、SVD”.
- 戴华编著《矩阵论》 教材，科学出版社. 有时候明白一点之后再回头参考数学教材要比网上大把的抓好得多，豁然开朗。
