狄利克雷卷积的运算律

设 $f, g$ 都是定义在正整数集合上的函数，他们的狄利克雷卷积是一个定义在同样范围内的函数，用 $f*g$ 表示，满足：

$(f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})$

或者写成：

$(f*g)(n) = \sum_{ab=n} f(a) g(b)$

其中 $a,b$ 是正整数。

交换律

$f * g = g * f$

十分明显，不用证明。

结合律

$\begin{align} ((f*g)*h)(n) &= \sum_{ab=n} (f*g)(a) h(b) \\ &= \sum_{ab=n} \left( \sum_{xy=a}f(x)g(y) \right) h(b) \\ &= \sum_{xyb=n} f(x) g(y) h(b) \\ &= \sum_{abc=n} f(a) g(b) h(c) \end{align}$

这个形式有很强的对称性，仿照它也可以轻松将 $f*(g*h)$ 写成最后一行。所以得知 $(f*g)*h = f*(g*h)$ 。

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