二进制数
x表示待转换的二进制数，U是unsigned,T是补码（Two's Complement)
w是二进制的位数
n是从右到左的位数，从0开始。x_n是具体位上的值，比如1111。第零位到第四位都是1
二进制数的扩展和截取
Expand
-
Unsigned
高位补0，比如 1111 4位扩展成8位， 则结果是 0000 1111 结果不变，都是15
-
Two's Complement
高位补1,1011 4位扩展成8位，则结果是1111 1011 结果不变，都是 -5。注意，如果是正数，则不应该由补码表示，应当做Unsigned计算。
Truncate
-
Unsigned
执行mod运算，比如 1111（15） 4位截取成3位，则结果是 111 = 15 mod 8 = 7
-
Two's Complement
- 1011（-5） 4位截取成3位，则结果是011 = 3 这是一种类似于mod的操作,（-5+8）mod 8 = 3
- 1101（-3） 4位截取成3位，则结果是101 = -3 结果没变
二进制的算术运算
加法
-
Unsigned
两个无符号数进行加法运算，如果结果没超出Umax则可以正常表示，如果超出Umax，则对结果执行mod运算
比如 1011（11）+0011（3）= 1110（14）能够正常表示
1011（11）+1001（9）= 10100（20）截取借的位后，结果为4
-
Two's Complement
两个补码进行加法运算，如果结果在Tmin和Tmax间能够则可以正常表示
1110（-2）+1101（-3）= 11011，截取借的位后，结果为-5
如果结果小于Tmin,则是负溢出
1110（-2）+1001（-7）= 10111，截取借的位后，结果为7
如果结果大于Tmax,则是正溢出
0010（2）+0111（7）= 1001（-7)，结果为-7
乘法
只考虑乘2^n
-
Unsigned
两个无符号数进行乘法运算，没超出Umax则可以正常表示，如果超出Umax，则对结果执行mod运算
0011（3）*0100（4）= 1100（12） 正常表示
0101（5）*0100（4）= 010100 （20）截取借的位后，结果为4，相当于对结果取模
Two's Complement
两个补码进行乘法运算，如果结果在Tmin和Tmax间能够则可以正常表示
1101（-3）* 0010（2） = 11010（-6），截取后仍是-6
0011（3）*0010（2）=0110（6）正常表示
如果结果小于Tmin,则是负溢出
1011（-5）*0010（2）= 10110（-10），截取借的位后，结果为6
如果结果大于Tmax,则是正溢出
0110（6）*0010（2）= 01100（12)，截取借的位后，结果为-4
除法
推算方法和乘法类似，通过右移完成，在java中 >>> 是逻辑右移（负数左边补0），>>是算术右移（负数左边补1）
-x
补码x求-x,不管x是正数还是负数,运算规则是每一位按位取反（包括符号位），再加1
0110（6） =》1010（-6）
1001（-7） =》0111（7）
32位和64位
32位系统地址由32bit组成，因此最大内存限制为2^32, 内存地址有32位的二进制表示。64位系统地址由64bit组成，但是现在不存在2^64大小的内存，所以当代64位计算机，一般只使用47位，所以有的时候看到我们能看到0x7ffffabdd124a这种格式的地址格式，他只有48位，且第一位为0，因此实际使用的只有47位，32位和64位系统的一个地址对应一个计算机的最小存储单元（一个字节）
IEEE二进制浮点数
V=(-1)^s *M * 2^E， V表示任何实数，M的取值空间为[1,2)。
IEEE依据这个公式提出了一种浮点数的标准|S|Exponent|Fractional|。将一个浮点数分三段表示S是浮点数的符号位0表示正，1表示负。Exponent表示指数，Fractional表示小数。
有3种浮点数的精度
| S | Exponent | Fractional | |
|---|---|---|---|
| 单精度 | 1位 | 8位 | 23位 |
| 双精度 | 1位 | 11位 | 52位 |
| 扩展精度 | 1位 | 15位 | 64位 |
扩展精度类型是Intel提出的一种精度类型，不讨论
单精度有32位，双精度有64位
Exponent表示指数，且必须是无符号整型，由于无符号整型无法表示负数，IEEE引入了一个bias解决这个问题bias=2^(k-1)-1,k是Exponent的位数
公式中的E=Exponent-bias,这时指数E就包含的正数和负数了。
以单精度为例，bias=127，Exponent的取值范围为[0,255],则E的取值范围为[-127，128]，当Exponent为0000 0000时 E=-127，Exponent为1111 1111时E=128。这两种情况的浮点数不是Normalized，这些特殊值保留用于处理特殊值如正负无穷,NaN等，双精度的和单精度类似
Fractional表示小数部分，默认整数位为1，所以实际上Fractional=M-1,双精度类似
举个例子：
15213.0=11101101101101=1.1101101101101*2^13
所以可以表示位0|10001100|11011011011010000000000
Java中float或double丢失精度问题
java中float是单精度的，double是双精度的，他们的小数部分都只能表示k/2^n , 0<k<2^n ，意思是如果分母不为2的幂次方，则不能正确的表达，只能无限地接近准确值。如
```
public class LosePrecision {
public static void main(String[] args) {
double d = 1/5f;
System.out.println(d);
}
}
//result: 0.20000000298023224
```
