a.考虑幺半群和幺半群同态构成的范畴
。
基础集函子
（实际上就是遗忘函子）有左伴随
。
作用效果是，对每一个给定的集合X，FX就是X上的自由幺半群（将X中的元素作为字母，生成的有限字符串的集合，在并置运算或者说字符串连接运算下，构成的幺半群，就是X上的自由幺半群）。对于给定的映射
，
是通过将f作用于有限字符串上的每个字母来实现的。
存在一个明显的映射
，作用效果是将字母x映到单元素字符串（x），可以看作一个含入，将单字符也视为字符串。
给定一个幺半群)
，和一个映射
，我们就得到了所需的唯一分解)
，定义为%3Dg(x_1)*...*g(x_n))
，空串映到单位元。
更新了上一节的证明的图，花了很多时间，就到这里了。
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