数学学习笔记-函数

  1. 函数是将一个对象转换为另外一个对象的规则，例如f(x)=x^2，其中x的取值被称为输入，结果被称为输出。所有输入来自称为定义域的集合，所有输出来自称为上域的集合。
  2. 假设现在有两个函数f，g，这两个函数的规则一样，且函数g的定义域小于f的定义域，我们可以说函数g是由限制f的定义域产生的。
  3. 所有可能的输出所组成的集合称为值域，例如f(x)=x^2, f的定义域为所有正整数，上域是所有正整数，那么值域则是{1,4,9...}。
  4. 除非明确表示，则所有定义域以及上域都是所有实数中尽可能多的部分，例如以下情况会导致出错：
  • 分数的分母不能为0
  • 不能取一个负数的偶数次根
  • 不能取一个负数的或者0的对数
  1. 我们可以用下面四种描述一个域：
  • (a,b) {x:a<x<b}(开区间)
  • [a,b] {x:a<=x<=b}(闭区间)
  • (a,b] {x:a<x<=b}(半开区间)
  • [a,b) {x:a<=x<b}(半开区间)
  1. 如果一个函数和另外一个函数的输入和输出恰恰都相反，那么我们称为反函数，如果函数名为f，那么反函数则记做f^-1，f^-1的定义域和f的值域相同，f^-1的值域和f的定义域相同。
  2. 如果对f定义域里所有x有f(-x)=f(x)，则f是偶函数，如果f(-x)=-f(x)，则f是奇函数。
  • 偶函数的图像关于y轴具有镜面对称性
  • 奇函数的图像关于原点有180度的点对称性
  • 两个奇函数之积是偶函数
  • 两个偶函数之积是偶函数
  • 奇函数和偶函数之积是奇函数
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