共轭空间和共轭算子

对称是自然界中非常重要的几何性质。线性代数中可以看到对称矩阵有着很好的性质。

这一章研究：

内积空间（赋范空间）中的对称性；
线性算子的对称算子（或者说共轭算子和自共轭算子）

$Hahn-Banach$ 定理

由上一章的知识，我们可以知道在赋范线性空间 $(X , \| \cdot \|)$ 上可以定义许多不同的线性泛函。

以下定理说明在赋范线性空间 $(X , \| \cdot \|)$ 上可以定义“足够多”的线性泛函。

定理1（复的 $Hahn-Banach$ 定理）：设 $X$ 是一个复的赋范空间， $G$ 是 $X$ 的子空间， $f$ 是 $G$ 上的有界线性泛函，则 $f$ 可以保持范数不变地延拓到全空间 $X$ 上，即存在 $X$ 上的有界线性泛函 $F$ ，使得

对于 $\forall x \in G, F(x) = f(x)$ ;
$\| F \| = \| f \|_G$

其中 $\| f \|_G$ 表示 $f$ 作为 $G$ 上的有界线性泛函的范数。

简单证明，首先在实的赋范空间中考虑：
设 $G \ne X$ ，任取 $x_1 \in X$ 且 $x_1 \notin G$ ，用 $G_1$ 表示由 $x_1$ 和 $G$ 张成的线性子空间，即
$G_1 = \left\{ {x + \alpha x_1 | x \in G, \alpha \in \mathbb{R}} \right\}$

在 $G_1$ 上定义：
$f_1(x + \alpha x_1 ) = f(x) +\alpha \beta \ (x \in G, \alpha \in \mathbb{R})$

其中 $\beta$ 是适当选择的实数，且满足：
$\mathop {\sup }\limits_{x \in G} \left\{ {f\left( x \right) - {{\left\| f \right\|}_G}\left\| {x - {x_1}} \right\|} \right\} \leqslant \beta \leqslant \mathop {\inf }\limits_{x \in G} \left\{ {{{\left\| f \right\|}_G}\left\| {x + {x_1}} \right\| - f\left( x \right)} \right\}$

该条件在证明保范性时用到，由此也可看出 $\beta$ 的取值在一个范围内，因此延拓的线性泛函不唯一。

容易验证 $f_1$ 是 $G_1$ 上的线性泛函，这样就把 $f$ 延拓成了 $G_1$ 上的线性泛函。

可以用 $Zorn$ 引理证明， $f$ 可以保范地延拓到全空间 $X$ 上，即上面的过程可以一直进行下去。

在复的赋范空间，我们令
$f\left( x \right) = \varphi \left( x \right) + i\psi \left( x \right) ,\ (x \in G)$

其中 $\varphi, \psi$ 分别表示 $f$ 的实部和虚部，因为 $f(ix) = if(x)$ ，可以得到
$\varphi (ix) + i \psi(ix) = f(ix)= if(x) = i\varphi (x) - \psi(x)$

所以复的线性泛函的实部和虚部满足关系：
$\varphi (ix) = - \psi (x)$

把 $X$ 看作是实的赋范空间，则由 $Hahn-Banach$ 定理， $\varphi$ 可以保范地延拓成 $X$ 上的实线性泛函 $\varphi_0$ ，令
$F(x) = \varphi_0(x) - i\varphi_0(ix), \ (x \in X)$

则 $F$ 就是满足定理要求在全空间上定义的线性泛函。

事实上，对于 $\forall x \in X$ ，
$F(ix) = \varphi_0(ix) - i\varphi_0(-x) = i( \varphi_0(x) - i\varphi_0(ix)) = iF(x)$

由此可推出 $F$ 是 $X$ 上的复的线性泛函， $F$ 是 $f$ 的延拓。

注：线性泛函的延拓不是惟一的，

推论1：设 $X$ 是一个赋范空间，对于 $\forall x_1, x_2 \in X, x_1 \ne x_2$ ，则存在线性泛函 $f$ ，使得 $\| f\| =1$ ，且
$f(x_1) \ne f(x_2)$

注：这说明有足够多的线性泛函可把空间中任何两个不同的元素区分开来。

推论2：设 $X$ 是一个赋范空间，如果对于 $X$ 的任何有界线性泛函 $f$ 都有
$f(x_0) = 0$

则 $x_0 = 0$ 。

注：这是判断 $x = 0$ 的一个重要手段。

推论3：设 $G$ 是赋范空间 $X$ 的子空间， $x_0 \in X$ ，若
$d =d(x_0, G) = \mathop {\inf }\limits_{x \in G} \left\| {x - {x_0}} \right\| > 0$

则存在 $X$ 上的有界线性泛函 $f$ ，
$\left\| f \right\| = \frac{1}{d};f\left( {{x_0}} \right) = 1;f\left( x \right) = 0,\forall x \in G$

注：这是一种分离的性质，可以用线性泛函 $f$ 把 $x_0$ 和 $G$ 分开。

超平面和支撑

对于三维空间上的线性泛函 $f(x),$
$f(x) = ax +by +cz$

集合 $\left\{ { (x,y,z) | f(x) = k} \right\}$ 是三维空间中的一个平面。一般地可以定义：

定义7：设 $X$ 是赋范空间， $f$ 是 $X$ 上的线性泛函，称
$L^k_f = \left\{ { x \in X| f(x) = k} \right\}$

是 $X$ 中的超平面。

设 $\Omega \subset X$ ，如果对于任何的 $x \in \Omega$ ，有 $f(x) \leqslant k$ 或 $f(x) \geqslant k$ ，则称 $\Omega$ 位于 $L^k_f$ 的一侧。

进一步，如果还有 $x_0 \in \Omega \cap L^k_f$ ，则称超平面 $L^k_f$ 在 $x_0$ 处支撑着 $\Omega$ ， $x_0$ 称为支撑向量（Support Vectors）。

共轭空间

上一节说明了一个赋范空间 $X$ 上有“足够多”的线性泛函。

$X$ 上的全体线性泛函组成了一个新的赋范空间，这个空间从另一个侧面反映了赋范空间 $X$ 的许多本质性质。

共轭空间的概念

定义1：设 $X$ 是赋范空间，记
$X^* = \mathcal{B}(X, \mathbb{K})$

称 $X^*$ 为 $X$ 的共轭空间。

注1： $X$ 的共轭空间 $X^*$ 是 $X$ 上全体有界线性泛函构成的赋范空间。

注2：由于 $\mathbb{K}$ 是完备的， $X^*$ 是 $Banach$ 空间，这不要求 $X$ 是 $Banach$ 空间。

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