【定义 1】设 )
和 )
是距离空间, 若存在双射 
, 使得
%20%3D%20d_1(x_1%2Cx_2)%2C%20%5C%3B%5C%3B%5C%3B%20%5Cforall%20x_1%2Cx_2%20%5Cin%20X)
则称 与 (通过 
) 等距同构, 称为等距同构映射. 若 与 的某个子空间 )
等距同构, 则称 )
可嵌入 )
. 在等距同构的意义下, 可将 看作 的子空间, 并简记为
%20%5Csubset%20(Y%2C%20d_2))
注意 : 从集合角度来看, 
不一定是 
的子集.
-
【定义 2】设 与 是赋范线性空间, 若算子 满足 
, 则称 是 保范算子. 若线性算子 是双射, 则称 是 等距同构映射, 简称 同构映射. 这时称 与 等距同构, 简称 同构, 记作 
.
若存在 
, 使得 
与 同构, 则称 可嵌入到 中.
若一个抽象的赋范线性空间 与一个具体的赋范线性空间 同构, 则称 是 的一个表示.
注意 : 若将【定义 2】中的线性改为共轭线性, 即
%20%3D%20%5Coverline%7B%5Calpha%7D%20Tx%20%2B%20%5Coverline%7B%5Cbeta%7D%20Ty%2C%20%5Cforall%20%5Calpha%2C%20%5Cbeta%20%5Cin%20K)
则称 与 共轭同构, 仍记作 .
-
【定义 3】设 与 是数域 
上的赋范线性空间, 
是 的线性子空间. 若映射 
满足
- 可加性:
%3DTx%2BTy%2C%5C%3B%5C%3B%5C%3B%20x%2Cy%20%5Cin%20D)
- 齐性:
%20%3D%20%5Calpha%20Tx%2C%5C%3B%5C%3B%5C%3B%20x%20%5Cin%20D%2C%20%5Calpha%20%5Cin%20K)
则称 是 到 的线性算子; 称 %20%3D%20D)
为 的定义域; 称 %20%3D%20%5C%7BTx%7Cx%5Cin%20D%20%5C%7D)
为 的值域; 并称
(%3Dker(T))%20%3D%20%5C%7Bx%20%5Cin%20D%20%7C%20Tx%3D0%5C%7D%20%3D%20T%5E%7B-1%7D(0))
为 的零空间 (或核).
【有界线性算子范数】设 与 是赋范线性空间, 若 
为 有界线性算子, 则称
为 有界线性算子范数.
【有界线性算子空间】设 与 是数域 上的赋范线性空间, 到 的有界线性算子全体记作 )
. %2C%20%5Calpha%20%5Cin%20K)
. 规定线性运算为:
%20(x)%20%3D%20T_1x%20%2B%20T_2x%2C%20%26%20%5Cforall%20x%20%5Cin%20X%5C%5C%20%26(%5Calpha%20T)(x)%20%3D%20%5Calpha%20Tx%2C%20%26%20%5Cforall%20x%20%5Cin%20X%20%5Cend%7Baligned%7D)
易知, %2C%7C%7C%5Ccdot%20%7C%7C))
是赋范线性空间, 称为 有界线性算子空间.
特别, 当 
时, 简记作 %20%3D%20X%5E%7B*%7D)
, 并称其元素为 有界线性泛函, 且 
称为 的 共轭空间.
【定义 4】设 是数域 上的赋范线性空间, 若 
, 则称 为 自共轭空间.
【定理 1】任何赋范线性空间 )
都与 
的子空间保范线性同构, 在同构的意义下, 可记作 
, 即
, 定义泛函 
, )
, 即
%20%3D%20f(x)%20%5C%3B%5C%3B%5Ctext%7B%20%24x%24%20%E5%9B%BA%E5%AE%9A%2C%20%24%5Cforall%20f%20%5Cin%20X%5E%7B*%7D%24%20%7D)
则 %20%3D%20X%5E%7B**%7D)
， 且 
.
-
【定理 2】
维实赋范线性空间 
, 有 %5E%7B*%7D%20%3D%20E_n)
.
设 
是 的一组基, 则 %5E%7B*%7D)
, 存在唯一的 %20%5Cin%20E_n)
, 使得 
在 上的表示为
%20%3D%20%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20x_k%5Calpha_k%2C%5C%3B%5C%3B%20%5Cforall%20x%20%5Cin%20E_n%2C%20x%20%3D%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20x_ke_k)
实际上, )
是由 唯一确定的. 同时, %5E%7B*%7D)
中的泛函 的范数 
则依赖于 中元素 
的范数 
的选取.
重要技巧
将原空间 的问题通过嵌入映射 
转换为 中的问题, 即将 
转换为 
, 且 . 而线性泛函 
要比抽象空间 中的元素 更容易处理.
