一、汉诺塔
1.描述
在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。
请编写程序，用栈将所有盘子从第一根柱子移到最后一根柱子。
你需要原地修改栈。
示例1:
输入：A = [2, 1, 0], B = [], C = []
输出：C = [2, 1, 0]
示例2:
输入：A = [1, 0], B = [], C = []
输出：C = [1, 0]
提示:A中盘子的数目不大于14个。
4片圆盘的移动方法：
Tower_of_Hanoi_4.gif
2.解题过程：
找规律：
一片圆盘：
- A->C
两片圆盘：
- A->B
- A->C
- B->C
三片圆盘：
- A->C
- A->B
- C->B 这一步结束之后，前两个圆盘已经从A移动到了B：A->B
- A->C 第三个从A移动到了C
- B->A
- B->C
- A->C 这一步结束之后，前两个从B移动到了C：B->C
即三片圆盘的移动方法可以简化成2片的移动方法：把前两片圆盘看做是一片圆盘：
- A->B
- A->C
- B->C
此移动方法就是2片的移动方法。
总结：两片圆盘的移动方法就是最终的移动方法，大于2片的都能拆解成2片的移动方法。
3.代码
class Solution {
public void hanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
remove(A.size(),A,B,C);
}
public void remove(int count,List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C){
if (count == 0) {
return;
}
remove(count - 1, A, C, B);
C.add(A.remove(A.size() - 1));
remove(count - 1, B, A, C);
}
}
递归过程：
image.png
递归调用 remove(3, A, B, C)：
count 不为 0，所以执行下面的步骤。
调用 remove(2, A, C, B)：
递归调用 remove(2, A, C, B)：
count 不为 0，执行下面的步骤。
再次调用 remove(1, A, B, C)：
递归调用 remove(1, A, B, C)：
count 不为 0，执行下面的步骤。
调用 remove(0, A, C, B)：
递归调用 remove(0, A, C, B)****：
count 为 0，直接返回。
执行 C.add(A.remove(A.size() - 1))，即将盘子 1 从 A 移动到 C：
A = [2, 3]
B = []
C = [1]
再次调用 remove(0, B, A, C)：
count 为 0，直接返回。
执行 C.add(A.remove(A.size() - 1))，即将盘子 2 从 A 移动到 B：
A = [3]
B = [2]
C = [1]
再次调用 remove(1, B, A, C)：
递归调用 remove(1, B, A, C)：
count 不为 0，执行下面的步骤。
调用 remove(0, B, C, A)：
递归调用 remove(0, B, C, A)****：
count 为 0，直接返回。
执行 C.add(B.remove(B.size() - 1))，即将盘子 2 从 B 移动到 C：
A = [3]
B = []
C = [1, 2]
再次调用 remove(0, A, B, C)：
count 为 0，直接返回。
执行 C.add(A.remove(A.size() - 1))，即将盘子 3 从 A 移动到 C：
A = []
B = []
C = [1, 2, 3]
执行 C.add(A.remove(A.size() - 1))，即将盘子 1 从 A 移动到 C：
A = []
B = []
C = [1, 2, 3]
二、杨辉三角
1.题目
给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。
在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。
PascalTriangleAnimated2.gif
示例 1:
输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]
示例 2:
输入: numRows = 1
输出: [[1]]
2.题解
把杨辉三角左边对齐来看：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
从图中可以看出，已知的元素是每一行的第一个元素和最后一个元素都是1；
其余元素的结果是上一行的前两个的和：
行为i，列为j，那么任一一个元素 [i][j] = [i-1,j-1]+[i-1,j]，
其中，当j==0||i==j时，[i][j] = 1
所以，所有元素最终都可以简化为1相加的和。
3.递归解法：
/**
* 求第i行第j列元素
* @param i
* @param j
* @return
*/
public static int element(int i,int j) {
//每一行的第一个(第0列)和最后一个都是1
if (j == 0 || i == j) {
return 1;
}
return element(i - 1, j - 1) + element(i - 1, j);
}
/**
* 递归
* @param numRows
* @return
*/
public static List<List<Integer>> generateRecursion(int numRows) {
List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
List<Integer> list = new ArrayList<>();
for (int j = 0; j <= i; j++) {
//第i行第j列元素
int element = element(i, j);
list.add(element);
}
lists.add(list);
}
return lists;
}
以上解法超出时间限制
4.递归优化：使用记忆法缓存
每次求出的元素缓存到数组中，判断当前要求的数组里是不是有了，如果有了，就直接从数组中拿出来，不用再递归计算了。
/**
* 递归优化
* @param numRows
* @return
*/
public static List<List<Integer>> generateRecursionCache(int numRows) {
List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
//行初始化为numRows
int[][] arr = new int[numRows][];
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
//i行的列初始化为i+1
arr[i] = new int[i + 1];
List<Integer> list = new ArrayList<>();
for (int j = 0; j <= i; j++) {
//第i行第j列元素
int element = elementCache(i, j, arr);
list.add(element);
}
lists.add(list);
}
return lists;
}
/**
* 求第i行第j列元素 使用记忆法优化
* @param i
* @param j
* @return
*/
public static int elementCache(int i,int j,int[][] arr) {
if (arr[i][j] != 0) {
return arr[i][j];
}
//每一行的第一个(第0列)和最后一个都是1
if (j == 0 || i == j) {
arr[i][j] = 1;
return 1;
}
arr[i][j] = elementCache(i - 1, j - 1, arr) + elementCache(i - 1, j, arr);
return arr[i][j];
}
5.使用动态规划
/**
* 递归优化 使用动态规划
* @param numRows
* @return
*/
public static List<List<Integer>> generateDynamic(int numRows) {
List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
//行初始化为numRows
//List<Integer> rowList = new ArrayList<>();
int[] rowArr = new int[numRows];
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
List<Integer> list = new ArrayList<>();
//求第i行元素
dynamicElement(rowArr, i);
//这里有瑕疵 又要把数组转成List
for (int k : rowArr) {
if (k != 0) {
list.add(k);
}
}
lists.add(list);
}
return lists;
}
/**
* 计算rowNum行元素 动态规划
* @param arr 上一行的元素
* @param rowNum
* @return
*/
public static void dynamicElement(int[] arr,int rowNum) {
if (rowNum == 0) {
arr[0] = 1;
return;
}
/**
* 1 rowNum=0
* 1 1 rowNum=1
* 1 2 1 rowNum=2
* 1 3 3 1 rowNum=3 arr=4
* 1 4 6 4 1 rowNum=4
*/
//求出第n行的所有元素 原本arr[0]都是1 所以不用管
for (int i = rowNum; i > 0; i--) {
arr[i] = arr[i] + arr[i - 1];
}
}
动态规划是一种解决问题的算法思想，通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
杨辉三角的过程可以描述为动态规划的一个应用：
- 定义状态：
int[] rowArr 数组用于存储当前行的元素，它们构成了杨辉三角的一行。
lists 是一个 List<List<Integer>>，用于存储所有行的元素。 - 状态转移：
dynamicElement 方法实现了状态转移的逻辑。它从第一行开始计算，依次更新每一行的元素值，直到第 numRows 行。
在动态规划的思想中，每一行的元素可以通过上一行的元素计算得到。具体来说，每个元素的值等于它上方两个元素之和（例如第 i 行的第 j 列元素等于第 i-1 行的第 j-1 列和第 j 列元素之和）。 - 填充列表：
在 generate 方法中，通过调用 dynamicElement 方法来更新 rowArr 数组，然后将非零元素添加到 list 中，最后将 list 添加到 lists 中，完成了对杨辉三角每一行的构建。
6.迭代解法
public static List<List<Integer>> generate(int numRows) {
List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
List<Integer> listFirst = new ArrayList<>();
listFirst.add(1);
lists.add(listFirst);
if (numRows == 1) {
return lists;
}
for (int i = 0; i < numRows-1; i++) { //行
List<Integer> list = new ArrayList<>();
//每一行的第一个和最后一个元素都是1
list.add(1);
if (i > 0) {
//当前下标1元素来源于上一行的下标0和下标1的和 这里的循环是循环中间一共有多少个元素
for (int j = 0; j < i; j++) { //列
//上一行的元素 [1,2,1]
List<Integer> list1 = lists.get(lists.size() - 1);
//依次求和，0+1 1+2 2+3
list.add(list1.get(j) + list1.get(j + 1));
}
}
//当前下标2元素来源于上一行的下标1和小标2的和。
list.add(1);
lists.add(list);
}
return lists;
}
