卷积神经网络
卷积神经网络（convolutional neural network，CNN）是一类强大的、为处理图像数据而设计的神经网络。 基于卷积神经网络架构的模型在计算机视觉领域中已经占主导地位，当今几乎所有的图像识别、目标检测或语义分割相关的学术竞赛和商业应用都以这种方法为基础。
现代卷积神经网络的设计得益于生物学、群论和一系列的补充实验。 卷积神经网络需要的参数少于全连接架构的网络，而且卷积也很容易用GPU并行计算。 因此卷积神经网络除了能够高效地采样从而获得精确的模型，还能够高效地计算。 久而久之，从业人员越来越多地使用卷积神经网络。即使在通常使用循环神经网络的一维序列结构任务上（例如音频、文本和时间序列分析），卷积神经网络也越来越受欢迎。 通过对卷积神经网络一些巧妙的调整，也使它们在图结构数据和推荐系统中发挥作用。
在本章的开始，我们将介绍构成所有卷积网络主干的基本元素。 这包括卷积层本身、填充（padding）和步幅（stride）的基本细节、用于在相邻区域汇聚信息的汇聚层（pooling）、在每一层中多通道（channel）的使用，以及有关现代卷积网络架构的仔细讨论。 在本章的最后，我们将介绍一个完整的、可运行的LeNet模型：这是第一个成功应用的卷积神经网络，比现代深度学习兴起时间还要早。 在下一章中，我们将深入研究一些流行的、相对较新的卷积神经网络架构的完整实现，这些网络架构涵盖了现代从业者通常使用的大多数经典技术。
从全连接层到卷积
之前讨论的多层感知机十分适合处理表格数据，其中行对应样本，列对应特征。 对于表格数据，我们寻找的模式可能涉及特征之间的交互，但是我们不能预先假设任何与特征交互相关的先验结构。 此时，多层感知机可能是最好的选择，然而对于高维感知数据，这种缺少结构的网络可能会变得不实用。
例如，在之前猫狗分类的例子中：假设我们有一个足够充分的照片数据集，数据集中是拥有标注的照片，每张照片具有百万级像素，这意味着网络的每次输入都有一百万个维度。即使将隐藏层维度降低到1000，这个全连接层也将有106 × 103 = 109个参数。想要训练这个模型将不可实现，因为需要有大量的GPU、分布式优化训练的经验和超乎常人的耐心。
有些读者可能会反对这个观点，认为要求百万像素的分辨率可能不是必要的。 然而，即使分辨率减小为十万像素，使用1000个隐藏单元的隐藏层也可能不足以学习到良好的图像特征，在真实的系统中我们仍然需要数十亿个参数。 此外，拟合如此多的参数还需要收集大量的数据。 然而，如今人类和机器都能很好地区分猫和狗：这是因为图像中本就拥有丰富的结构，而这些结构可以被人类和机器学习模型使用。 卷积神经网络（convolutional neural networks，CNN）是机器学习利用自然图像中一些已知结构的创造性方法。
不变性
想象一下，假设我们想从一张图片中找到某个物体。 合理的假设是：无论哪种方法找到这个物体，都应该和物体的位置无关。 理想情况下，我们的系统应该能够利用常识：猪通常不在天上飞，飞机通常不在水里游泳。 但是，如果一只猪出现在图片顶部，我们还是应该认出它。 卷积神经网络正是将空间不变性（spatial invariance）的这一概念系统化，从而基于这个模型使用较少的参数来学习有用的表示。
现在，我们将上述想法总结一下，从而帮助我们设计适合于计算机视觉的神经网络架构。
- 平移不变性（translation invariance）：不管检测对象出现在图像中的哪个位置，神经网络的前面几层应该对相同的图像区域具有相似的反应，即为“平移不变性”。
- 局部性（locality）：神经网络的前面几层应该只探索输入图像中的局部区域，而不过度在意图像中相隔较远区域的关系，这就是“局部性”原则。最终，可以聚合这些局部特征，以在整个图像级别进行预测。
图像卷积
由于卷积神经网络的设计是用于探索图像数据，本节我们将以图像为例。
互相关运算
严格来说，卷积层是个错误的叫法，因为它所表达的运算其实是互相关运算（cross-correlation），而不是卷积运算。 在卷积层中，输入张量和核张量通过互相关运算产生输出张量。
首先，我们暂时忽略通道（第三维）这一情况，看看如何处理二维图像数据和隐藏表示。在下图中，输入是高度为3、宽度为3的二维张量（即形状为3 × 3）。卷积核的高度和宽度都是2，而卷积核窗口（或卷积窗口）的形状由内核的高度和宽度决定（即2 × 2）。
二维互相关运算。阴影部分是第一个输出元素，以及用于计算输出的输入张量元素和核张量元素（对应位置相乘后相加：0 × 0 + 1 × 1 + 3 × 2 + 4 × 3 = 19.）。
在二维互相关运算中，卷积窗口从输入张量的左上角开始，从左到右、从上到下滑动。 当卷积窗口滑动到新一个位置时，包含在该窗口中的部分张量与卷积核张量进行按元素相乘，得到的张量再求和得到一个单一的标量值，由此我们得出了这一位置的输出张量值。 在如上例子中，输出张量的四个元素由二维互相关运算得到，这个输出高度为2、宽度为2，如下所示：
注意，输出大小略小于输入大小。这是因为卷积核的宽度和高度大于1， 而卷积核只与图像中每个大小完全适合的位置进行互相关运算。输出大小等于输入大小nh × nw减去卷积核大小kh × kw，即：
这是因为我们需要足够的空间在图像上“移动”卷积核。稍后，我们将看到如何通过在图像边界周围填充零来保证有足够的空间移动卷积核，从而保持输出大小不变。 接下来，我们在corr2d函数中实现如上过程，该函数接受输入张量X和卷积核张量K，并返回输出张量Y。
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
def corr2d(X, K): #@save
"""计算二维互相关运算"""
h, w = K.shape
Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum()
return Y
验证上面的互相关运算
X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
corr2d(X, K)
'''
tensor([[19., 25.],
[37., 43.]])
'''
互相关运算：对应位置相乘再相加
卷积层
卷积层对输入和卷积核权重进行互相关运算，并在添加标量偏置之后产生输出。 所以，卷积层中的两个被训练的参数是卷积核权重和标量偏置。 就像我们之前随机初始化全连接层一样，在训练基于卷积层的模型时，我们也随机初始化卷积核权重。
基于上面定义的corr2d函数实现二维卷积层。在init构造函数中，将weight和bias声明为两个模型参数。前向传播函数调用corr2d函数并添加偏置。
class Conv2D(nn.Module):
def __init__(self, kernel_size):
super().__init__()
self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))
self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))
def forward(self, x):
return corr2d(x, self.weight) + self.bias
高度和宽度分别为h和w的卷积核可以被称为h × w卷积或h × w卷积核。我们也将带有h × w卷积核的卷积层
称为h × w卷积层。
图像中目标的边缘检测
如下是卷积层的一个简单应用：通过找到像素变化的位置，来检测图像中不同颜色的边缘。 首先，我们构造一个像素的黑白图像。中间四列为黑色（0），其余像素为白色（1）。
X = torch.ones((6, 8))
X[:, 2:6] = 0
X
'''
tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])
'''
接下来，我们构造一个高度为1、宽度为2的卷积核K。当进行互相关运算时，如果水平相邻的两元素相同，则输出为零，否则输出为非零。
K = torch.tensor([[1.0, -1.0]])
K
# tensor([[ 1., -1.]])
现在，我们对参数X（输入）和K（卷积核）执行互相关运算。如下所示，输出Y中的1代表从白色到黑色的边缘，‐1代表从黑色到白色的边缘，其他情况的输出为0。
Y = corr2d(X, K)
Y
'''
tensor([[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.]])
'''
现在我们将输入的二维图像转置，再进行如上的互相关运算。 其输出如下，之前检测到的垂直边缘消失了。 不出所料，这个卷积核K只可以检测垂直边缘，无法检测水平边缘。
corr2d(X.t(), K)
'''
tensor([[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.]])
'''
学习卷积核
如果我们只需寻找黑白边缘，那么以上[1, -1]的边缘检测器足以。然而，当有了更复杂数值的卷积核，或者连续的卷积层时，我们不可能手动设计滤波器。那么我们是否可以学习由X生成Y的卷积核呢？
现在让我们看看是否可以通过仅查看“输入-输出”对来学习由X生成Y的卷积核。 我们先构造一个卷积层，并将其卷积核初始化为随机张量。接下来，在每次迭代中，我们比较Y与卷积层输出的平方误差，然后计算梯度来更新卷积核。为了简单起见，我们在此使用内置的二维卷积层，并忽略偏置。
# 构造一个二维卷积层，它具有1个输出通道和形状为（1，2）的卷积核
conv2d = nn.Conv2d(1,1, kernel_size=(1, 2), bias=False)
# 这个二维卷积层使用四维输入和输出格式（批量大小、通道、高度、宽度），
# 其中批量大小和通道数都为1
X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))
lr = 3e-2 # 学习率
for i in range(10):
Y_hat = conv2d(X)
l = (Y_hat - Y) ** 2
conv2d.zero_grad()
l.sum().backward()
# 迭代卷积核
conv2d.weight.data[:] -= lr * conv2d.weight.grad
if (i + 1) % 2 == 0:
print(f'epoch {i+1}, loss {l.sum():.3f}')
'''
epoch 2, loss 3.186
epoch 4, loss 0.551
epoch 6, loss 0.099
epoch 8, loss 0.019
epoch 10, loss 0.004
'''
在10次迭代之后，误差已经降到足够低。现在我们来看看我们所学的卷积核的权重张量。
conv2d.weight.data.reshape((1, 2))
# tensor([[ 0.9863, -0.9954]])
细心的读者一定会发现，我们学习到的卷积核权重非常接近我们之前定义的卷积核K。
互相关和卷积
回想一下互相关和卷积运算之间的对应关系。为了得到正式的卷积运算输出，我们需要执行严格卷积运算，而不是互相关运算。幸运的是，它们差别不大，我们只需水平和垂直翻转二维卷积核张量，然后对输入张量执行互相关运算。
值得注意的是，由于卷积核是从数据中学习到的，因此无论这些层执行严格的卷积运算还是互相关运算，卷积层的输出都不会受到影响。
为了说明这一点，假设卷积层执行互相关运算并学习 图6.2.1中的卷积核，该卷积核在这里由矩阵K表示。假设其他条件不变，当这个层执行严格的卷积时，学习的卷积核K′在水平和垂直翻转之后将与K相同。
为了与深度学习文献中的标准术语保持一致，我们将继续把“互相关运算”称为卷积运算，尽管严格地说，它
们略有不同。此外，对于卷积核张量上的权重，我们称其为元素。
特征映射和感受野
积层有时被称为特征映射（feature map），因为它可以被视为一个输入映射到下一层的空间维度的转换器。 在卷积神经网络中，对于某一层的任意元素x，其感受野（receptive field）是指在前向传播期间可能影响x计算的所有元素（来自所有先前层）。
填充和步幅
在前面的例子，输入的高度和宽度都为3，卷积核的高度和宽度都为2，生成的输出表征的维数为2 × 2。假设输入形状为nh × nw，卷积核形状为kh × kw，那么输出形状将是(nh − kh + 1) × (nw − kw + 1)。因此，卷积的输出形状取决于输入形状和卷积核的形状。
还有什么因素会影响输出的大小呢？本节我们将介绍填充（padding）和步幅（stride）。假设以下情景：有时，在应用了连续的卷积之后，我们最终得到的输出远小于输入大小。这是由于卷积核的宽度和高度通常大于1所导致的。
比如，一个240 × 240像素的图像，经过10层5 × 5的卷积后，将减少到200 × 200像素。如此一来，原始图像的边界丢失了许多有用信息。而填充是解决此问题最有效的方法；有时，我们可能希望大幅降低图像的宽度和高度。例如，如果我们发现原始的输入分辨率十分冗余。步幅则可以在这类情况下提供帮助。
填充
在应用多层卷积时，我们常常丢失边缘像素。 由于我们通常使用小卷积核，因此对于任何单个卷积，我们可能只会丢失几个像素。 但随着我们应用许多连续卷积层，累积丢失的像素数就多了。 解决这个问题的简单方法即为填充（padding）：在输入图像的边界填充元素（通常填充元素是0）。
通常，如果我们添加ph行填充（大约一半在顶部，一半在底部）和pw列填充（左侧大约一半，右侧一半），则输出形状将为
这意味着输出的高度和宽度将分别增加ph和pw 。
import torch
from torch import nn
# 为了方便起见，我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重，并对输入和输出提高和缩减相应的维数
def comp_conv2d(conv2d, X):
# 这里的（1，1）表示批量大小和通道数都是1
X = X.reshape((1, 1) + X.shape)
Y = conv2d(X)
# 省略前两个维度：批量大小和通道
return Y.reshape(Y.shape[2:])
# 请注意，这里每边都填充了1行或1列，因此总共添加了2行或2列
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1)
X = torch.rand(size=(8, 8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
# torch.Size([8, 8])
当卷积核的高度和宽度不同时，我们可以填充不同的高度和宽度，使输出和输入具有相同的高度和宽度。在如下示例中，我们使用高度为5，宽度为3的卷积核，高度和宽度两边的填充分别为2和1。
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
# torch.Size([8, 8])
步幅
计算互相关时，卷积窗口从输入张量的左上角开始，向下、向右滑动。 在前面的例子中，我们默认每次滑动一个元素。 但是，有时候为了高效计算或是缩减采样次数，卷积窗口可以跳过中间位置，每次滑动多个元素。
下面，我们将高度和宽度的步幅设置为2，从而将输入的高度和宽度减半。
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape
# torch.Size([4, 4])
接下来，看一个稍微复杂的例子。
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
# torch.Size([2, 2])
小结
- 填充可以增加输出的高度和宽度。这常用来使输出与输入具有相同的高和宽。
- 步幅可以减小输出的高和宽，例如输出的高和宽仅为输入的高和宽的1/n（n是一个大于1的整数）。
- 填充和步幅可用于有效地调整数据的维度
多输入多输出通道
多输入通道
当输入包含多个通道时，需要构造一个与输入数据具有相同输入通道数的卷积核，以便与输入数据进行互相关运算。假设输入的通道数为ci，那么卷积核的输入通道数也需要为ci。如果卷积核的窗口形状是kh × kw，那么当ci = 1时，我们可以把卷积核看作形状为kh × kw的二维张量。
然而，当ci > 1时，我们卷积核的每个输入通道将包含形状为kh × kw的张量。将这些张量ci连结在一起可以得到形状为ci × kh × kw的卷积核。由于输入和卷积核都有ci个通道，我们可以对每个通道输入的二维张量和卷积核的二维张量进行互相关运算，再对通道求和（将ci的结果相加）得到二维张量。这是多通道输入和多输入通道卷积核之间进行二维互相关运算的结果。
阴影部分是第一个输出元素以及用于计算这个输出的输入和核张量元素：(1 × 1 + 2 × 2 + 4 × 3 + 5 × 4) + (0 × 0 + 1 × 1 + 3 × 2 + 4 × 3) = 56。
为了加深理解，我们实现一下多输入通道互相关运算。简而言之，我们所做的就是对每个通道执行互相关操作，然后将结果相加。
import torch
from d2l import torch as d2l
def corr2d_multi_in(X, K):
# 先遍历“X”和“K”的第0个维度（通道维度），再把它们加在一起
return sum(d2l.corr2d(x, k) for x, k in zip(X, K))
我们可以构造上图中的值相对应的输入张量X和核张量K，以验证互相关运算的输出。
X = torch.tensor([[[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]],
[[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0], [7.0, 8.0, 9.0]]])
K = torch.tensor([[[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]], [[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]]])
corr2d_multi_in(X, K)
'''
tensor([[ 56., 72.],
[104., 120.]])
'''
多输出通道
到目前为止，不论有多少输入通道，我们还只有一个输出通道。然而，每一层有多个输出通道是至关重要的。在最流行的神经网络架构中，随着神经网络层数的加深，我们常会增加输出通道的维数，通过减少空间分辨率以获得更大的通道深度。直观地说，我们可以将每个通道看作对不同特征的响应。而现实可能更为复杂一些，因为每个通道不是独立学习的，而是为了共同使用而优化的。因此，多输出通道并不仅是学习多个单通道的检测器。
用ci和co分别表示输入和输出通道的数目，并让kh和kw为卷积核的高度和宽度。为了获得多个通道的输出，我们可以为每个输出通道创建一个形状为ci × kh × kw的卷积核张量，这样卷积核的形状是co × ci × kh × kw。在互相关运算中，每个输出通道先获取所有输入通道，再以对应该输出通道的卷积核计算出结果。
如下所示，我们实现一个计算多个通道的输出的互相关函数。
def corr2d_multi_in_out(X, K):
# 迭代“K”的第0个维度，每次都对输入“X”执行互相关运算。
# 最后将所有结果都叠加在一起
return torch.stack([corr2d_multi_in(X, k) for k in K], 0)
通过将核张量K与K+1（K中每个元素加1）和K+2连接起来，构造了一个具有3个输出通道的卷积核。
K = torch.stack((K, K + 1, K + 2), 0)
K.shape
# torch.Size([3, 2, 2, 2])
下面，我们对输入张量X与卷积核张量K执行互相关运算。现在的输出包含3个通道，第一个通道的结果与先前输入张量X和多输入单输出通道的结果一致。
corr2d_multi_in_out(X, K)
'''
tensor([[[ 56., 72.],
[104., 120.]],
[[ 76., 100.],
[148., 172.]],
[[ 96., 128.],
[192., 224.]]])
'''
1 × 1 卷积层
1 × 1卷积，即kh = kw = 1，看起来似乎没有多大意义。毕竟，卷积的本质是有效提取相邻像素间的相关特征，而1 × 1卷积显然没有此作用。尽管如此，1 × 1仍然十分流行，经常包含在复杂深层网络的设计中。下面，让我们详细地解读一下它的实际作用。
因为使用了最小窗口，1 × 1卷积失去了卷积层的特有能力——在高度和宽度维度上，识别相邻元素间相互作用的能力。其实1 × 1卷积的唯一计算发生在通道上。
使用1 × 1卷积核与3个输入通道和2个输出通道的互相关计算。这里输入和输出具有相同的高度和宽度，输出中的每个元素都是从输入图像中同一位置的元素的线性组合。我们可以将1 × 1卷积层看作在每个像素位置应用的全连接层，以ci个输入值转换为co个输出值。因为这仍然是一个卷积层，所以跨像素的权重是一致的。同时，1 × 1卷积层需要的权重维度为co × ci，再额外加上一个偏置。
上图中互相关计算使用了具有3个输入通道和2个输出通道的 1 × 1 卷积核。其中，输入和输出具有相同的高度和宽度。
下面，我们使用全连接层实现1 × 1卷积。请注意，我们需要对输入和输出的数据形状进行调整。
def corr2d_multi_in_out_1x1(X, K):
c_i, h, w = X.shape
c_o = K.shape[0]
X = X.reshape((c_i, h * w))
K = K.reshape((c_o, c_i))
# 全连接层中的矩阵乘法
Y = torch.matmul(K, X)
return Y.reshape((c_o, h, w))
当执行1 × 1卷积运算时，上述函数相当于先前实现的互相关函数corr2d_multi_in_out。让我们用一些样本数据来验证这一点。
X = torch.normal(0, 1, (3, 3, 3))
K = torch.normal(0, 1, (2, 3, 1, 1))
Y1 = corr2d_multi_in_out_1x1(X, K)
Y2 = corr2d_multi_in_out(X, K)
assert float(torch.abs(Y1 - Y2).sum()) < 1e-6
汇聚层
通常当我们处理图像时，我们希望逐渐降低隐藏表示的空间分辨率、聚集信息，这样随着我们在神经网络中层叠的上升，每个神经元对其敏感的感受野（输入）就越大。
而我们的机器学习任务通常会跟全局图像的问题有关（例如，“图像是否包含一只猫呢？”），所以我们最后一层的神经元应该对整个输入的全局敏感。通过逐渐聚合信息，生成越来越粗糙的映射，最终实现学习全局表示的目标，同时将卷积图层的所有优势保留在中间层。
此外，当检测较底层的特征时（例如前面讨论的边缘），我们通常希望这些特征保持某种程度上的平移不变性。例如，如果我们拍摄黑白之间轮廓清晰的图像X，并将整个图像向右移动一个像素，即Z[i, j] =X[i, j + 1]，则新图像Z的输出可能大不相同。而在现实中，随着拍摄角度的移动，任何物体几乎不可能发生在同一像素上。即使用三脚架拍摄一个静止的物体，由于快门的移动而引起的相机振动，可能会使所有物体左右移动一个像素（除了高端相机配备了特殊功能来解决这个问题）。
这里将介绍汇聚（pooling）层，它具有双重目的：降低卷积层对位置的敏感性，同时降低对空间降采样表示的敏感性。
最大汇聚层和平均汇聚层
与卷积层类似，汇聚层运算符由一个固定形状的窗口组成，该窗口根据其步幅大小在输入的所有区域上滑动，为固定形状窗口（有时称为汇聚窗口）遍历的每个位置计算一个输出。 然而，不同于卷积层中的输入与卷积核之间的互相关计算，汇聚层不包含参数。 相反，池运算是确定性的，我们通常计算汇聚窗口中所有元素的最大值或平均值。这些操作分别称为最大汇聚层（maximum pooling）和平均汇聚层（average pooling）。
在这两种情况下，与互相关运算符一样，汇聚窗口从输入张量的左上角开始，从左往右、从上往下的在输入张量内滑动。在汇聚窗口到达的每个位置，它计算该窗口中输入子张量的最大值或平均值。计算最大值或平均值是取决于使用了最大汇聚层还是平均汇聚层。
汇聚窗口形状为p × q的汇聚层称为p × q汇聚层，汇聚操作称为p × q汇聚。
回到本节开头提到的对象边缘检测示例，现在我们将使用卷积层的输出作为2 × 2最大汇聚的输入。设置卷积层输入为X，汇聚层输出为Y。无论X[i, j]和X[i, j + 1]的值相同与否，或X[i, j + 1]和X[i, j + 2]的值相同与否，汇聚层始终输出Y[i, j] = 1。也就是说，使用2 × 2最大汇聚层，即使在高度或宽度上移动一个元素，卷积层仍然可以识别到模式。
在下面的代码中的pool2d函数，我们实现汇聚层的前向传播。这类上面实现的corr2d函数。然而，这里我们没有卷积核，输出为输入中每个区域的最大值或平均值。
我们可以构建输入张量X，验证二维最大汇聚层的输出。
X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
'''
tensor([[4., 5.],
[7., 8.]])
'''
此外，我们还可以验证平均汇聚层。
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
'''
tensor([[2., 3.],
[5., 6.]])
'''
填充和步幅
与卷积层一样，汇聚层也可以改变输出形状。和以前一样，我们可以通过填充和步幅以获得所需的输出形状。 下面，我们用深度学习框架中内置的二维最大汇聚层，来演示汇聚层中填充和步幅的使用。 我们首先构造了一个输入张量X，它有四个维度，其中样本数和通道数都是1。
X = torch.arange(16, dtype=torch.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X
'''
tensor([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]]]])
'''
默认情况下，深度学习框架中的步幅与汇聚窗口的大小相同。因此，如果我们使用形状为(3, 3)的汇聚窗口，那么默认情况下，我们得到的步幅形状为(3, 3)。
pool2d = nn.MaxPool2d(3)
pool2d(X)
# tensor([[[[10.]]]])
填充和步幅可以手动设定。
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
'''
tensor([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]]]])
'''
当然，我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口，并分别设定填充和步幅的高度和宽度。
pool2d = nn.MaxPool2d((2, 3), stride=(2, 3), padding=(0, 1))
pool2d(X)
'''
tensor([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]]]])
'''
kernel_size=(2, 3)：池化核是 2 行 ×3 列 的矩形窗口
stride=(2, 3)：垂直方向（高度）步长 = 2，水平方向（宽度）步长 = 3
padding=(0, 1)：矩阵上面和下面不填充（0），左右两边各填充 1 列 0（共增加 2 列），变为 4 行 ×6 列
多个通道
在处理多通道输入数据时，汇聚层在每个输入通道上单独运算，而不是像卷积层一样在通道上对输入进行汇总。这意味着汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。下面，我们将在通道维度上连结张量X和X + 1，以构建具有2个通道的输入。
X = torch.cat((X, X + 1), 1)
X
'''
tensor([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]],
[[ 1., 2., 3., 4.],
[ 5., 6., 7., 8.],
[ 9., 10., 11., 12.],
[13., 14., 15., 16.]]]])
'''
如下所示，汇聚后输出通道的数量仍然是2。
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
'''
tensor([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]],
[[ 6., 8.],
[14., 16.]]]])
'''
小结
对于给定输入元素，最大汇聚层会输出该窗口内的最大值，平均汇聚层会输出该窗口内的平均值。
汇聚层的主要优点之一是减轻卷积层对位置的过度敏感。
我们可以指定汇聚层的填充和步幅。
使用最大汇聚层以及大于1的步幅，可减少空间维度（如高度和宽度）。
汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。
卷积神经网络（LeNet）
本节将介绍LeNet，它是最早发布的卷积神经网络之一，因其在计算机视觉任务中的高效性能而受到广泛关注。这个模型是由AT&T贝尔实验室的研究员Yann LeCun在1989年提出的（并以其命名），目的是识别图像 (LeCun et al., 1998) 中的手写数字。当时，Yann LeCun发表了第一篇通过反向传播成功训练卷积神经网络的研究，这项工作代表了十多年来神经网络研究开发的成果。
当时，LeNet取得了与支持向量机（support vector machines）性能相媲美的成果，成为监督学习的主流方法。LeNet被广泛用于自动取款机（ATM）机中，帮助识别处理支票的数字。时至今日，一些自动取款机仍在运行Yann LeCun和他的同事Leon Bottou在上世纪90年代写的代码呢！
总体来看，LeNet（LeNet‐5）由两个部分组成：
- 卷积编码器：由两个卷积层组成;
- 全连接层密集块：由三个全连接层组成。
每个卷积块中的基本单元是一个卷积层、一个sigmoid激活函数和平均汇聚层。请注意，虽然ReLU和最大汇聚层更有效，但它们在20世纪90年代还没有出现。每个卷积层使用5 × 5卷积核和一个sigmoid激活函数。这些层将输入映射到多个二维特征输出，通常同时增加通道的数量。第一卷积层有6个输出通道，而第二个卷积层有16个输出通道。每个2 × 2池操作（步幅2）通过空间下采样将维数减少4倍。卷积的输出形状由批量大小、通道数、高度、宽度决定。
为了将卷积块的输出传递给稠密块，我们必须在小批量中展平每个样本。换言之，我们将这个四维输入转换成全连接层所期望的二维输入。这里的二维表示的第一个维度索引小批量中的样本，第二个维度给出每个样本的平面向量表示。LeNet的稠密块有三个全连接层，分别有120、84和10个输出。因为我们在执行分类任务，所以输出层的10维对应于最后输出结果的数量。
通过下面的LeNet代码，可以看出用深度学习框架实现此类模型非常简单。我们只需要实例化一个Sequential块并将需要的层连接在一起。
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
net = nn.Sequential(
nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.Sigmoid(),
nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.Sigmoid(),
nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
nn.Flatten(),
nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.Sigmoid(),
nn.Linear(120, 84), nn.Sigmoid(),
nn.Linear(84, 10))
我们对原始模型做了一点小改动，去掉了最后一层的高斯激活。除此之外，这个网络与最初的LeNet‐5一致。
下面，我们将一个大小为28 × 28的单通道（黑白）图像通过LeNet。通过在每一层打印输出的形状，我们可
以检查模型，以确保其操作与我们期望的一致（下图）。
X = torch.rand(size=(1, 1, 28, 28), dtype=torch.float32)
for layer in net:
X = layer(X)
print(layer.__class__.__name__,'output shape: \t',X.shape)
'''
Conv2d output shape: torch.Size([1, 6, 28, 28])
Sigmoid output shape: torch.Size([1, 6, 28, 28])
AvgPool2d output shape: torch.Size([1, 6, 14, 14])
Conv2d output shape: torch.Size([1, 16, 10, 10])
Sigmoid output shape: torch.Size([1, 16, 10, 10])
AvgPool2d output shape: torch.Size([1, 16, 5, 5])
Flatten output shape: torch.Size([1, 400])
Linear output shape: torch.Size([1, 120])
Sigmoid output shape: torch.Size([1, 120])
Linear output shape: torch.Size([1, 84])
Sigmoid output shape: torch.Size([1, 84])
Linear output shape: torch.Size([1, 10])
'''
请注意，在整个卷积块中，与上一层相比，每一层特征的高度和宽度都减小了。 第一个卷积层使用2个像素的填充，来补偿卷积核导致的特征减少。 相反，第二个卷积层没有填充，因此高度和宽度都减少了4个像素。 随着层叠的上升，通道的数量从输入时的1个，增加到第一个卷积层之后的6个，再到第二个卷积层之后的16个。 同时，每个汇聚层的高度和宽度都减半。最后，每个全连接层减少维数，最终输出一个维数与结果分类数相匹配的输出。
模型训练
现在我们已经实现了LeNet，让我们看看LeNet在Fashion‐MNIST数据集上的表现。
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)
def evaluate_accuracy_gpu(net, data_iter, device=None): #@save
"""使用GPU计算模型在数据集上的精度"""
if isinstance(net, nn.Module):
net.eval() # 设置为评估模式
if not device:
device = next(iter(net.parameters())).device
# 正确预测的数量，总预测的数量
metric = d2l.Accumulator(2)
with torch.no_grad():
for X, y in data_iter:
if isinstance(X, list):
# BERT微调所需的（之后将介绍）
X = [x.to(device) for x in X]
else:
X = X.to(device)
y = y.to(device)
metric.add(d2l.accuracy(net(X), y), y.numel())
return metric[0] / metric[1]
为了使用GPU，我们还需要一点小改动。 在进行正向和反向传播之前，我们需要将每一小批量数据移动到我们指定的设备（例如GPU）上。
与全连接层一样，我们使用交叉熵损失函数和小批量随机梯度下降。
#@save
def train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, device):
"""用GPU训练模型(在第六章定义)"""
def init_weights(m):
if type(m) == nn.Linear or type(m) == nn.Conv2d:
nn.init.xavier_uniform_(m.weight)
net.apply(init_weights)
print('training on', device)
net.to(device)
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
loss = nn.CrossEntropyLoss()
animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs],
legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
timer, num_batches = d2l.Timer(), len(train_iter)
for epoch in range(num_epochs):
# 训练损失之和，训练准确率之和，样本数
metric = d2l.Accumulator(3)
net.train()
for i, (X, y) in enumerate(train_iter):
timer.start()
optimizer.zero_grad()
X, y = X.to(device), y.to(device)
y_hat = net(X)
l = loss(y_hat, y)
l.backward()
optimizer.step()
with torch.no_grad():
metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0])
timer.stop()
train_l = metric[0] / metric[2]
train_acc = metric[1] / metric[2]
if (i + 1) % (num_batches // 5) == 0 or i == num_batches - 1:
animator.add(epoch + (i + 1) / num_batches,
(train_l, train_acc, None))
test_acc = evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter)
animator.add(epoch + 1, (None, None, test_acc))
print(f'loss {train_l:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, '
f'test acc {test_acc:.3f}')
print(f'{metric[2] * num_epochs / timer.sum():.1f} examples/sec '
f'on {str(device)}')
现在，我们训练和评估LeNet-5模型。
lr, num_epochs = 0.9, 10
train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())
又试了下20个epoc的
lr, num_epochs = 0.9, 20
train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())
小结
- 卷积神经网络（CNN）是一类使用卷积层的网络。
- 在卷积神经网络中，我们组合使用卷积层、非线性激活函数和汇聚层。
- 为了构造高性能的卷积神经网络，我们通常对卷积层进行排列，逐渐降低其表示的空间分辨率，同时增加通道数。
- 在传统的卷积神经网络中，卷积块编码得到的表征在输出之前需由一个或多个全连接层进行处理。
- LeNet是最早发布的卷积神经网络之一。
