今儿到了我最开始目的要说的东西了，说一下之前费了好大劲铺垫得来的Bessel，贝塞尔方程可以在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到。贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位。我的想法是，其实只要物理模型与”轴对称”有关，大概率就可以用Bessel Function去求解。

     重新写一下：

它叫做v阶Bessel方程。

这个方程解的推导非常的麻烦，好在因为这个问题的解有一定的规律性，所以可以根据其解的规律性归纳整理形成定理，（关于推理部分太麻烦了，，光打公式，我寻思就得打上至少三页，不过意义不大，有兴趣的可以看一看Frobenius解法。）

通解形式：

其中C1，C2是任意的常数，Jv和Y分别是v阶第一类和第二类Bessel函数。

各种类型的Bessel函数定义：

1. v阶的第一类Bessel：

2. v阶的第二类Bessel：

    关于不同order的Bessel函数给出一个最直观的图像：

***************第一类Bessel***************

************************第二类Bessel****************

举个例子：

ri = 1; ro = 5;环境温度为Tinf = 50.

环形肋片：之前模拟过一个类似的模型，当时没有考虑过用Bessel来算，现在随手画了一个简单示意图，说一下具体的步骤：

按照微分的思想：

对于单位圆环体积，利用能量守恒傅里叶公式和牛顿冷却公式；

这里面：

对上面的方程化简，得：

上面得（1）就是之前我说的虚宗量Bessel方程。这里引入过于温度量：

这样虚宗量Bessel方程就变成了：

对于这个问题的解可以写成：

C1和C2是根据两个边界条件确定的常数。

这里我们假设边界条件为：

将这两个边界条件带回到（3）中，联立方程组就可以得到C1和C2的表达式。

于是有了C1和C2，有了（3）的表达式，万事俱备，这里对于变量M分别取三个值：0.3，0.6，1.直接出结果：

再举个例子：

经典的半径为b的无限长圆柱冷却问题，外部对流，初始条件为T0：

在柱坐标中，数学模型可以写成以下形式：

分离变量法搞起来，设u（r,t）=R(r)*T(t)，因此有：

通过这个式子我们可以得到：

对于上面的0阶Bessel方程，按道理我们的解中应该有第一类和第二类Bessel函数的存在，但是在r=0的时候，第二类Bessel函数的值是负无穷大，因此为了保证在r=0时有界的条件，常常仅用第一类Bessel函数：

考虑在半径为rb处的边界条件为对流边界条件：

将R带入得：

于是，有了熟悉得Bi数：通过上面得到了一个约束条件：

再看时间项：

于是合并得：

于是现在的任务就转变成了求解系数An上来了：

利用解析解第一讲中的内容，很麻烦的得：（严格地来说中间需要证明零阶Bessel函数组成得是否是正交系，这就涉及到了正交函数得范数的概念，以及Bessel函数积分时候的个别公式，有些繁琐。方法之前也提过，这里肯定是啊，不是我也不会说这个....）所以我就直接说我推了快半个小时的结果。

于是：

为了验证结果，假设毕渥数为1.

在毕渥数为1的情况下，考察在时间a2/b2*t上u/T0值的变化：

考察不同时间点上，圆半径方向上的温度值。

*********************************************************************

精确解在很多现实情况下，是很难得到的，甚至是没有办法得到的。在对物理模型做出一系列假设化简之后，简化的物理模型运气好可以运用繁琐的计算去描述精确解。当然了，商业软件盛行的如今，省时省力的做法当然是运用现成的软件去模拟，但是任何一个产品都需要与要求去做对比，这个要求的建立也是我想说这个精确解的初衷。