机器学习的几何化（1）

定义1：设 $M$ 是一个拓扑空间，如果 $M$ 满足以下三个条件：（1）Hausdorff公理，（2）第二可数性，（3） $M$ 的任意一点都存在一个邻域与 $n$ 维欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 的一个开集同胚，则称 $M$ 为一个 $n$ 维拓扑流形。

定义2：设 $M$ 是一个 $m$ 维拓扑流形， $\Sigma=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha):\alpha\in I\}$ 是 $M$ 的一些坐标卡的集合，如果 $\Sigma$ 满足以下条件：（1） $\{U_\alpha:\alpha\in I\}$ 是 $M$ 的一个开覆盖，（2） $\Sigma$ 中任意两个成员都是光滑相关的，（3） $\Sigma$ 是极大的，则称 $M$ 是一个光滑结构，指定了光滑结构 $\Sigma$ 的 $m$ 维拓扑流形 $M$ 称为 $m$ 维光滑流形。

关于拉回映射（pulling back）和推前映射（push forward），《Gauge Fields, Knots and Gravity》（以下简称Knots书）以及梁灿彬书里的定义是一致的，详见如下。

拉回映射：流形 $M$ 和流形 $N$ 之间存在一个映射 $\phi:M \rightarrow N$ ，流形 $N$ 到实数 $\mathbb{R}$ 之间存在一个映射 $f:N \rightarrow \mathbb{R}$ ，那么函数 $f$ 和 $\phi$ 的复合就是流形 $M$ 到实数 $\mathbb{R}$ 的一个映射， $f \circ \phi :M \rightarrow \mathbb{R}$ ，pulling back的定义为 $\phi ^\ast f=f \circ \phi$ ，其意义是说本来 $\phi$ 是从 $M$ 到 $N$ 之间的一个映射，是一个前向的过程， $f$ 也是一个前向的过程， $\phi ^\ast$ 却把本来是 $N$ 到 $\mathbb{R}$ 之间的映射拉回到了 $M$ 到 $\mathbb{R}$ 之间的映射，所以称之为拉回映射，同时这样的一个拉回的过程也称为是逆变的。

推前映射：设 $v\in T_pM$ ， $\phi:M \rightarrow N$ ， $\phi_\ast v\in T_{\phi(p)}N$ ，也就是说 $(\phi_\ast v)(f)=v(\phi^\ast f)$ ，这样一个推前的过程称之为协变的过程。

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