3.4 推导测不准原理 Generalized uncertainty principle

https://www.youtube.com/watch?v=44I6cITA_0U&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=39&t=0s

前言

测不准原理我们只知道一个距离，动量的关系式，那么它是怎么来的？可以从数学中推导吗？线性代数为我们提供一个解决办法。

1. 方差

既然想推导测不准定律，那么就要从客观测量Q的方差入手

  • \sigma_Q^2 = \langle (\hat Q - \langle Q \rangle )^2 \rangle

    • 其中期望\langle Q \rangle 简化为 \mu_Q
      =\langle \psi | (\hat Q - \mu_Q)^2\rangle
      =\langle \psi | (\hat Q - \mu_Q) (\hat Q - \mu_Q) \rangle

    • (\hat Q - \mu_Q)和哈密顿量一样是厄米算符
      = \langle (\hat Q - \mu_Q) \psi | (\hat Q - \mu_Q) \psi \rangle

    • 简化：定义|f\rangle = |(\hat Q - \mu_Q) \psi \rangle
      所以上式= \langle f|f\rangle

  • 同理：假设还存在另一个可观测量R
    \sigma_R^2 = \langle (\hat R - \langle R \rangle )^2 \rangle

    • 其中期望\langle R \rangle 简化为 \mu_R
      \vdots
      = \langle g|g\rangle

2. Schwarz不等式

  • 经过上述推导，可以得到方差相乘等于：
    \sigma_Q^2 \sigma_Q^2 = \langle f|f\rangle \langle g|g \rangle

  • 根据Schwarz不等式：
    \langle f|f\rangle \langle g|f \rangle \geq | \langle f|g\rangle |^2

  • 然后假设复数z,复数的模满足下面不等式：
    |z|^2 = |Re(z)|^2 + |Im(z)|^2 \geq |Im(z)|^2 = [ \frac{1}{2i} (z-z^*) ]^2

  • 所以将上述关系式带入Schwarz不等式：
    \langle f|f\rangle \langle g|f \rangle \geq | \langle f|g\rangle |^2 \geq \left( \frac 1 {2i} ( \langle f|g\rangle - \langle g|f\rangle) \right)^2

3. 继续化简

  • 根据上面推导得到
    \sigma_Q^2 \sigma_Q^2 \geq \left( \frac 1 {2i} ( \langle f|g\rangle - \langle g|f\rangle) \right)^2
    和定义：
    |f\rangle = |(\hat Q - \mu_Q) \psi \rangle
    |g\rangle = |(\hat R - \mu_R) \psi \rangle

  • 化简 \langle f|g\rangle
    \langle f|f\rangle = \langle (\hat Q - \mu_Q) \psi | (\hat R - \mu_R) \psi \rangle = \langle \psi | (\hat Q - \mu_Q) (\hat R - \mu_R) \psi \rangle

    = \langle \psi|(\hat Q \hat R - \mu_Q \hat R - \mu_R \hat Q + \mu_Q \mu_R ) \psi \rangle

    = \langle \psi | \hat Q \hat R \psi \rangle - \mu_Q \langle \psi |\hat R \psi \rangle - \mu_R \langle \psi | \hat Q \psi \rangle + \mu_Q \mu_R\langle \psi | \psi \rangle

    = \langle \hat Q \hat R \rangle - \mu_Q \mu_R -\mu_Q \mu_R + \mu_Q \mu_R \cdot 1

    = \langle \hat Q \hat R \rangle - \mu_Q \mu_R

  • 同理化简 \langle g|f\rangle
    \langle g|f\rangle
    \vdots
    \langle g|f\rangle = \langle \hat R \hat Q \rangle - \mu_Q \mu_R

  • 结果
    \langle f|g\rangle -\langle g|f\rangle = \langle \hat Q \hat R \rangle - \langle \hat R \hat Q \rangle
    = \langle \hat Q \hat R - \hat R \hat Q \rangle
    = \langle [\hat Q, \hat R]\rangle

经过上述一堆的推理，终于得到了我们想要的不等式：
\sigma_Q^2 \sigma_R^2 \geq \left(\frac1 {2i} \langle [\hat Q, \hat R]\rangle \right)

  • 举例 位置和动量：x和\hat p
    之前的笔记2.8推导：
    [\hat x, \hat p] = \hat x \hat p -\hat p \hat x = i\hbar
    所以带入上述不等式：
    \sigma_Q^2 \sigma_R^2 \geq \hbar/2
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