特征值、特征根、秩、计算行列式、线性相关性、矩阵的相似、你可以想到有几种方法证明一个矩阵满秩、奇异值分解、线性相关与线性无关、什么叫矩阵的迹、正定是什么意思、什么是线性方程组有解/无解/有唯一解的条件、正交矩阵、MATLAB解线性方程组的原理、矩阵的微分、矩阵的幂运算、矩阵的导数
一. 行列式，秩，迹 ，正定矩阵
1、行列式
将矩阵映射为一个标量，矩阵每列代表一个边（平面），行列式表示多维空间各平面围成的体积。
2、秩
线性无关列的极大数目。本质：空间维度。
矩阵的秩就是矩阵中不等于0的子式的最高阶数。
行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的行数。
（1）与向量组的关系：
矩阵的秩等于它列向量组的秩，也等于它行向量组的秩。
向量组的秩定义为向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
（2）与向量空间的关系（几何意义）：
任何矩阵的行空间的维数等于矩阵的列空间的维数等于矩阵的秩。
（3）与线性方程组解的关系：
设A是m×n矩阵，若R(A)=r＜n，则齐次线性方程组Ax=0有基础解系，且每个基础解系都含n-r个解向量。
（4）与线性变换的关系：
所谓一个线性变换的秩，无非就是变换后，还能保持非零体积的几何形状的最大维度。
3、迹
矩阵主对角线。
4、正定矩阵
特征值都大于0的矩阵
5、半正定矩阵
特征值大于等于0的矩阵
二、线性相关与线性无关
1、向量组的线性组合
2、向量组的线性相关性
3、线性相关、无关与线性表示的关系
4、线性相关的几何意义
三、 向量范数，矩阵范数
1、向量范数
2、矩阵范数
四、行空间，列空间，它们关系？
五、 线性方程组有解/无解/唯一解的条件？
1、无解：系数矩阵秩 < 增广矩阵的秩
2、唯一解：系数矩阵秩 = 增广矩阵的秩 = 列数 n
3、无穷解：系数矩阵秩 = 增广矩阵的秩 < 列数 n
六、线性方程组解的结构
1、齐次线性方程组解的结构
2、非齐次线性方程组
3、一些结论
（1）若（A|b）经初等行变换，变换为（B|d），则线性方程组Ax=b与Bx=d同解
（2）Ax=0有非零解⟺ R(A)＜n，n为未知量的个数⟺ A的列向量组线性相关
（3）Ax=b有解⟺ R(A)=R(A˜). ⟺ b可由A的列向量组线性表示
（4）若R(A)=R(A˜)=r，则当r=n时，Ax=b有唯一解；当r＜n时，Ax=b有无穷多个解
七、标准正交基，施密特变换
1、标准正交基
两量正交的向量，且长度为单位1
2、正交矩阵
矩阵的转置和矩阵的乘积=单位阵，那么这个矩阵就是正交矩阵，他的列向量组一定是标准正交向量组
3、施密特变换
求标准正交基的方法。把一个线性无关向量组改造成一个与其等价的正交向量组。
八、二次型与标准型
1、二次型定义
2、标准型定义
仅含平方项的二次型称为标准形式的二次型，简称标准型。
3、二次型的矩阵表示
4、二次型的秩
矩阵A的秩称为二次型f(x)的秩，二次型的矩阵一定是对称矩阵。
5、合同矩阵
6、化二次型为标准型
（1）正交变换法（最常用）
性质：正交变换保持向量的内积、范数、夹角不变。
（2）配方法
（3）初等变换法
九、相似矩阵
1、常规相似矩阵
2、实对称矩阵的相似矩阵
十、 Jordan标准型
十一、Pseudo Inverse伪逆矩阵
十二、Normal Equation正规方程
1、介绍
一种优化方法，求导数的一种方法。【X * θ = Y 推导(左乘转置矩阵变成方阵之后求逆)】
2、梯度下降与正规方程的对比
3、矩阵不可逆时，如何求解θ矩阵
不可逆时有以下两种情况：
针对1：因为线性相关的向量（有一个是多余的），只需删除一个就好；
针对2：因为太多特征导致，所以需要删除一些特征，或者使用正则化的方法（regularization）
十三、SVD 奇异值分解
如何一个矩阵为方阵，我们可通过它的特征值和特征向量来表示这个矩阵：
SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：
举个例子：对物体进行受力分析，各个方向上力合成最后的力。特征值分解就好比是对最终的力分解成各个方向上的力，特征向量表示力的方向，特征值表示各方向力的大小。
特征值分解针对方针，SVD可以对非方阵进行分解。
十四、参考
https://www.jianshu.com/p/c7f99b138779
https://zhuanlan.zhihu.com/p/35897775
https://www.zhihu.com/search?type=content&q=%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%20%E4%BF%9D%E7%A0%94%20%E9%A2%98%E7%9B%AE
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html#:~:text=%E5%A5%87%E5%BC%82%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3(Singular%20Value,%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E7%AE%97%E6%B3%95%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%9F%B3%E3%80%82
https://blog.csdn.net/weixin_43871127/article/details/103888679
