编者按：Dave Smith使用Excel电子表格深入浅出地讲解了SVD++（基于协同过滤的推荐算法）的原理。
网络货架无穷无尽，寻找想看的影视剧可能让你筋疲力竭。幸运的是，对抗选择疲惫是Netflix的工作……它干得不错。干得太好了。
Netflix魔法般地向你推荐完美的电影，让你的眼睛紧紧地粘在屏幕上，将你的拖延变为沙发上的放纵。
该死的Netflix。你有什么秘密？你怎么能如此了解我们？
Netflix又胜利了……
其实这“魔法”惊人地简单，这篇教程将通过循序渐进的电子表格揭示这一秘密。你可以下载Excel格式的电子表格（推荐），或者使用Google Sheets（运算较慢，由于兼容性问题，缺了一张图）：
https://drive.google.com/open?id=1y4X8H56TS6M7AXAU7yIm0EyxhqNUy1sz
如果无法访问Google网盘，可以在论智公众号（ID: jqr_AI）后台留言excel获取替代下载地址。
尽管自从Netflix Prize competition竞赛之后，出现了一大堆关于推荐系统的论文和视频，但其中的大部分要么对初学者而言技术性过强，要么过于抽象，难以实践。
在本文中，我们将从头创建一个电影推荐系统，仅仅使用直白的英语解释和你可以在Excel中操作的公式。所有梯度下降通过手工推导得到，你可以使用Excel微调模型的超参数，加深你的直观理解。
你将学习：
实现SVD++的一个版本的精确步骤，SVD++曾赢得一百万美元的Netflix大奖。
机器到底是如何学习的（梯度下降）。看看Netflix是如何在你没有明确告知的情况下学习你的电影品味的。
超参数调整。 看看如何调整模型超参数（学习率、L2正则化、epoch数、权重初始化）得到更好的预测。
模型评估和可视化。 学习训练数据和测试数据的不同，如何预防过拟合，如何可视化模型特征。
在简短地介绍推荐系统之后，我将带领你创建一个预测一些好莱坞明星的电影评分的模型，整个过程共分为四部分：
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模型概览
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观看魔法秀（权重初始化、训练）
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魔法揭秘（梯度下降、导数）
我将逐步讲解机器学习魔法背后的数学，我将使用实数作为例子代入批量梯度下降的公式（不会使用“宏”或者Excel求解器之类的东西隐藏细节）。
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模型评估和可视化
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本文适合哪些人？
想要入门推荐系统的人。
Fast.AI的深度学习课程的学生。
充满好奇心，对机器学习感兴趣的人。
特别感谢Fast.AI的Jeremy Howard和Rachel Thomas。这里的电子表格受到了他们的协同过滤课程的启发（相关代码见git.io/fNVW9）。他们呈现的电子表格依赖Excel内置的求解器进行幕后的优化计算；而我这里的电子表格展示了梯度下降计算的每一步，并允许你微调模型的超参数。
如果这份电子表格对你有帮助，请注册我创建的邮件列表，注册后可以收到更多后续的电子表格，帮助你入门机器学习和创建神经网络。
excelwithml.com
推荐系统简介
电影推荐系统可以简化为两大类：
协同过滤（询问密友）
和
基于内容的过滤（标签匹配）
协同过滤
协同过滤基于类似行为进行推荐。
如果Ross和Rachel过去喜欢类似的东西，那么我们将Rachel喜欢而Ross没看过的电影向Ross推荐。你可以将他们看成是“协同”过滤网络货架上的噪音的“品味分身”。如果两个用户的评分有强相关性，那么我们就认定这两个用户“相似”。评分可以是隐式的，也可以是显示的：
隐式（沉溺）—— 整个周末，Ross和Rachel都沉溺于老剧《老友记》。尽管他们没人点赞，但我们相当确定他们喜欢《老友记》（以及他们可能有点自恋）。
显式（喜欢）—— Ross和Rachel都点了赞。
协同过滤有两种：近邻方法和潜因子模型（矩阵分解的一种形式）。本文将聚焦一种称为SVD++的潜因子模型。
基于内容的过滤
基于你过去喜欢的内容的明确标签（类型、演员，等等），Netflix向你推荐具有类似标签的新内容。
一万美元大奖得主是……
在电影推荐的场景下，当数据集足够大的时候，协同过滤（CF）轻而易举就能击败基于内容的过滤。
虽然有无数混合这两大类的变体，但出人意料的是，当CF模型足够好时，加上元数据并没有帮助。
为什么会这样？
人会说谎，行动不会。让数据自己说话
人们声称自己喜欢什么（用户设置，调查，等等）和他们的行为之间有一道巨大的鸿沟。最好让人们的观看行为自己说话。（窍门：想要改善Netflix推荐？访问/WiViewingActivity清理你的观看记录，移除你不喜欢的项。）
2009年，Netflix奖励了一队研究人员一百万美元，这个团队开发了一个算法，将Netflix的预测精确度提升了10%. 尽管获胜算法实际上是超过100种算法的集成，SVD++（一种协同过滤算法）是其中最关键的算法之一，贡献了大多数收益，目前仍在生产环境中使用。
我们将创建的SVD++模型（奇异值分解逼近）和Simon Funk的博客文章Netflix Update: Try This at Home中提到差不多。这篇不出名的文章是2006年Simon在Netflix竞赛开始时写的，首次提出了SVD++模型。在SVD++模型成功之后，几乎所有的Netflix竞赛参加者都用它。
SVD++关键想法：
奇异值（电影评价）可以被“分解”，也就是由一组潜因子（用户偏好和电影特征）决定，直觉上，潜因子表示类型、演员之类的特征。
可以通过梯度下降和已知电影评价迭代学习潜因子。
影响某人评价的用户/电影偏置同样可以学习。
简单而强大。让我们深入一点。
1.1 数据
出于简单性，本文的模型使用了30项虚假的评价（5用户 x 6电影）。
1.2 分割数据——训练集和测试集
我们将使用25项评价来训练模型，剩下5项评价测试模型的精确度。
我们的目标是创建一个在25项已知评价（训练数据）上表现良好的系统，并希望它在5项隐藏（但已知）评价（测试数据）上做出良好的预测。
如果我们有更多数据，我们本可以将数据分为3组——训练集（约70%）、验证集（约20%）、测试集（约10%）。
1.3 评价预测公式
评价预测是用户/电影特征的矩阵乘法（“点积”）加上用户偏置，再加上电影偏置。
形式化定义：
上式中，等式左侧表示用户i对电影j的预测评价。u1、u2、u3为用户潜因子，m1、m2、m3为电影潜因子，ubias为用户偏置，mbias为电影偏置。
1.3.1 用户/电影特征
直觉上说，这些特征表示类型、演员、片长、导演、年代等因素。尽管我们并不清楚每项特征代表什么，但是当我们将其可视化后（见第四部分）我们可以凭直觉猜测它们可能代表什么。
出于简单性，我使用了3项特征，但实际的模型可能有50、100乃至更多特征。特征过多时，模型将“过拟合/记忆”你的训练数据，难以很好地推广到测试数据的预测上。
如果用户的第1项特征（让我们假定它表示“喜剧”）值较高，同时电影的“喜剧”特征的值也很高，那么电影的评价会比较高。
1.3.2 用户/电影偏置
用户偏置取决于评价标准的宽严程度。如果Netflix上所有的平均评分是3.5，而你的所有评分的均值是4.0，那么你的偏置是0.5. 电影偏置同理。如果《泰坦尼克号》的所有用户的评分均值为4.25，那么它的偏置是0.75（= 4.25 - 3.50）。
1.4 RMSE —— 评估预测精确度
RMSE = Root Mean Squared Error （均方根误差）
RMSE是一个数字，尝试回答以下问题“平均而言，预测评价和实际平均差了几颗星（1-5）？”
RMSE越低，意味着预测越准……
上图为RMSE计算过程示意图。左侧为三个用户，“Actual Ratings”为用户的实际评分，“Predictions”为预测评分。计算共分4步：
计算误差（预测 - 实际）
对误差取平方
计算平方误差的均值
取均值的平方根
观察：
我们只在意绝对值差异。 相比实际评分高估了1分的预测，和相比实际评分低估了1分的预测，误差相等，均为1。
RMSE是误差同数量级的平均，而不是误差绝对值的平均。在我们上面的例子中，误差绝对值的平均是0.75（1 + 1 + 0.25 = 2.25，2.25 / 3 = 0.75），但RMSE是0.8292. RMSE给较大的误差更高的权重，这很有用，因为我们更不希望有较大的误差。
RMSE形式化定义：
同样，上式中i表示用户，j表示电影。戴帽的r表示预测评价，r表示实际评价。
1.5 超参数调整
通过电子表格的下拉过滤器，可以调整模型的3个超参数。你应该测试下每种超参数，看看它们对误差的影响。
训练epoch数 —— 1个epoch意味着整个训练集都过了一遍
学习率 —— 控制调整权重/偏置的速度
L2（lambda）惩罚因子 —— 帮助模型预防过拟合训练数据，以更好地概括未见测试数据
模型超参数
现在，让我们看一场魔法秀，看看模型是如何从随机权重开始，学习最优权重的。
观看梯度下降如何运作感觉就像看了一场大卫·布莱恩的魔术秀。
他到底是怎么知道我会在52张牌中选这张的呢？
等等，他刚刚是不是浮空了？
最后你深感敬畏，想要知道魔术是如何变的。我会分两步演示，接着揭露魔法背后的数学。
2.1 “抽一张卡，随便抽一张”（权重初始化）
在训练开始，用户/电影特征的权重是随机分配的，接着算法在训练中学习最佳的权重。
为了揭示这看起来有多么“疯狂”，我们可以随机猜测数字，然后让计算机学习最佳数字。下面是两种权重初始化方案的比较：
简单 —— 用户特征我随机选择了0.1、0.2、0.3，剩下的特征都分配0.1.
Kaiming He —— 更正式、更好的初始化方法，从高斯分布（“钟形曲线”）中随机抽样作为权重，高斯分布的均值为零，标准差由特征个数决定（细节见后）。
2.2 “观赏魔术”（查看训练误差）
看看使用以上两种方案学习权重最佳值的效果，从开始（epoch 0）到结束（epoch 50），RMSE训练误差是如何变化的：
如你所见，两种权重初始化方案在训练结束后都收敛到相似的“误差”（0.12和0.17），但Kaiming He方法收敛得更快。
关键点：无论我们开始的权重是什么样的，机器将随着时间推移学到良好的值。
注意：如果你想要试验其他初始化权重，可以在电子表格的“hyperparametersandinitial_wts”表的G3-J7、N3-Q8单元格中输入你自己的值。权重取值范围为-1到1.
想要了解更多关于Kaiming He初始化的内容，请接着读下去；否则，可以直接跳到第3部分学习算法的数学。
Kaiming He权重初始化
权重 = 正态分布随机抽样，分布均值为0，标准差为(=SquareRoot(2/特征数))
-
电子表格中的值由以下公式得到：=NORMINV(RAND(),0,SQRT(2/3))
image
现在，是时候书呆一点，一步一步地了解梯度下降的数学了。
如果你不是真想知道魔法是如何起效的，那么可以跳过这一部分，直接看第4部分。
梯度下降是在训练时使用的迭代算法，通过梯度下降更新电影特征、用户偏好的权重和偏置，以做出更好的预测。
梯度下降的一般周期为：
定义一个最小化权重的代价/损失函数
计算预测
计算梯度（每个权重的代价变动）
在最小化代价的方向上“一点点地”（学习率）更新每个权重
重复第2-4步
你可以访问电子表格的“training”（训练）表，其中第11-16行是更新Tina Fey的第一项用户特征的过程。
由于数据集很小，我们将使用批量梯度下降。这意味着我们在训练时将使用整个数据集（在我们的例子中，一个用户的所有电影），而不是像随机梯度下降之类的算法一样每次迭代一个样本（在我们的例子中，一个用户的一部电影），当数据集较大时，随机梯度下降更快。
3.1 定义最小化的代价函数
我们将使用下面的公式，我们的目标是找到合适的潜因子（矩阵U、M）的值，以最小化SSE（平方误差之和）加上一个帮助模型提升概括性的L2权重惩罚项。
下面是Excel中的代价函数计算。计算过程忽略了1/2系数，因为它们仅用于梯度下降以简化数学。
L2正则化和过拟合
我们加入了权重惩罚（L2正则化或“岭回归”）以防止潜因子值过高。这确保模型没有“过拟合”（也就是记忆）训练数据，否则模型在未见的测试电影上表现不会好。
之前，我们没有使用L2正则化惩罚（系数为0）的情况下训练模型，50个epoch后，RMSE训练误差为0.12.
但是模型在测试数据上的表现如何呢？
在上图中，我们看到，测试集上的RMSE为2.54，显然我们的模型过拟合了训练数据。
我们将L2惩罚系数从0.000改为0.300后，模型在未见测试数据上的表现好一点了：
3.2 计算预测
我们将计算Tina的电影预测。我们将忽略《泰坦尼克号》，因为它在测试数据集中，不在训练数据集中。
我们之前给出过预测的计算公式（1.3节），为了便于查看，这里再重复一遍：
3.3 计算梯度
目标是找到误差对应于将更新的权重的梯度（“坡度”）。
得出梯度之后，稍微将权重“移动一点点”，沿着梯度的反方向“下降”，在对每个权重进行这一操作后，下一epoch的代价应该会低一些。
“移动一点点”具体移动多少，取决于学习率。在得到梯度（3.3）之后，会用到学习率。
梯度下降法则：将权重往梯度的反方向移动，以减少误差
第1步：计算Tina Fey的第一个潜因子的代价梯度（u1）。
1.1 整理代价目标函数，取代价在Tina Fey的第一个潜因子（u1）上的偏导数。
<center style="margin: 0px; padding: 0px; max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; word-wrap: break-word !important; color: rgb(51, 51, 51);">1.3 将公式每部分中的u1视为常数，取u1在公式每部分的代价上的偏导数。</center>
<center style="margin: 0px; padding: 0px; max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; word-wrap: break-word !important; color: rgb(51, 51, 51);">1.3.2 应用“幂法则”以得到偏导数。根据幂法则，指数为2，所以将指数降1，并乘上系数1/2. u2和u3视作常数，变为0.</center>
<center style="margin: 0px; padding: 0px; max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; word-wrap: break-word !important; color: rgb(51, 51, 51);">1.3.3 应用“常数法则”以得到偏导数。</center>
<center style="margin: 0px; padding: 0px; max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; word-wrap: break-word !important; color: rgb(51, 51, 51);">由于u1对这些项毫无影响，结果是0.</center>
<center style="margin: 0px; padding: 0px; max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; word-wrap: break-word !important; color: rgb(51, 51, 51);">1.3.3 = 0</center>
<center style="margin: 0px; padding: 0px; max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; word-wrap: break-word !important; color: rgb(51, 51, 51);">1.4 结合1.3.1、1.3.2、1.3.3得到代价在u1上的偏导数。</center>
第2步：对训练集中Tina看过的每部电影，利用前面的公式计算梯度，接着计算Tina看过的所有电影的平均梯度。
3.4 更新权重
“training”（训练）表的X11-X16单元格对应上面的计算过程。
你可以看到，电影特征和用户/电影偏置以类似的方式更新。
每一个训练epoch更新所有的电影/用户特征及偏置。
现在我们已经训练好了模型，让我们可视化电影的2个潜因子。
如果我们的模型更复杂，包括10、20、50+潜因子，我们可以使用一种称为“主成分分析（PCA）”的技术提取出最重要的特征，接着将其可视化。
相反，我们的模型仅仅包括3项特征，所以我们将可视化其中的2项特征，基于学习到的特征将每部电影绘制在图像上。绘制图像之后，我们可以解释每项特征“可能代表什么”。
从直觉出发，电影特征1可能解释为悲剧与喜剧，而电影特征3可能解释为男性向与女性向。
这不是完美的解释，但还算一种合理的解释。《勇士》（warrior）一般归为剧情片，而不是喜剧片。不过其他电影基本符合以上解释。
总结
电影评价由一个电影向量和一个用户向量组成。在你评价了一些电影之后（显式或隐式），推荐系统将利用群体的智慧和你的评价预测你可能喜欢的其他电影。向量（或“潜因子”）的维度取决于数据集的大小，可以通过试错法确定。
我鼓励你实际操作下电子表格，看看改变模型的超参数会带来什么改变。
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