第九章 动态规划part08
121. 买卖股票的最佳时机
思路
- 贪心的解法：
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
// 找到一个最小的购入点
int low = Integer.MAX_VALUE;
// res不断更新，直到数组循环完毕
int res = 0;
for(int i = 0; i < prices.length; i++){
low = Math.min(prices[i], low);
res = Math.max(prices[i] - low, res);
}
return res;
}
}
- 动态规划
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金-
确定递推公式
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]
- 那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
- 同样dp[i][1]取最大的，
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
dp数组如何初始化
由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。
那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];
dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;确定遍历顺序
从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。-
举例推导dp数组
以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：
image.png
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
//版本1
int len = prices.length;
if(prices == null || len == 0) return 0;
// dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
// dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
int[][] dp = new int[len][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for(int i = 1; i < len; i++){
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], prices[i] + dp[i-1][0]);
}
return dp[len-1][1];
}
}
从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间
i % 2 的作用是用来在 dp 数组的两行之间切换，使得我们能够复用数组空间。例如：
- 当
i为偶数时，i % 2为 0，表示使用dp数组的第 0 行来存储第i天的状态。 - 当
i为奇数时，i % 2为 1，表示使用dp数组的第 1 行来存储第i天的状态。
这样，我们就可以使用 dp[0] 和 dp[1] 两行来分别存储当前和前一天的状态，达到节省空间的目的。
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
//版本1
int len = prices.length;
if(prices == null || len == 0) return 0;
// dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
// dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
int[][] dp = new int[2][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for(int i = 1; i < len; i++){
dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i-1) % 2][0], -prices[i]);
dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i-1) % 2][1], prices[i] + dp[(i-1) % 2][0]);
}
return dp[(len-1) % 2][1];
}
}
122.买卖股票的最佳时机II
思路
dp数组的含义：
- dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
- dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
注意这里和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。 - 本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。
那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。
再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[] dp = new int[2];
// 0代表持有，1代表卖出
dp[0] = -prices[0];
dp[1] = 0;
for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
//第i天持有; 或前一天持有（前一天持有的话，之前就是卖出的状态，就要用dp[1]减去前一天的价格）
dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i - 1]);
//第i天卖出；或前一天卖出(前一天卖出的话，先前就是持有的状态，再加上前一天的收益)
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
}
return dp[1]; //二维数组应该返回length-1，但是这里改了for循环里 i <= prices.length
}
}
123.买卖股票的最佳时机III
这道题一下子就难度上来了，关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。
文章讲解
思路
- 关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。
-
确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态，- 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
- 第一次持有股票
- 第一次不持有股票
- 第二次持有股票
- 第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票
确定递推公式
-
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么
dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i] - 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：
dp[i][1] = dp[i - 1][1] - dp[i][1]一定是选最大的，所以
dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
- 操作一：第i天买入股票了，那么
-
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么
dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i] - 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：
dp[i][2] = dp[i - 1][2] - 所以
dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
- 操作一：第i天卖出股票了，那么
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？
第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。-
举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]为例
image.png
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int len = prices.length;
/*
* 定义 5 种状态:
* 0: 没有操作, 1: 第一次买入, 2: 第一次卖出, 3: 第二次买入, 4: 第二次卖出
*/
int[][] dp = new int[len][5];
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][3] = -prices[0];
for(int i = 1; i < len; i++){
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], 0 - prices[i]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
}
return dp[len - 1][4];
}
}
