2014年全国卷A题25
25.（20分） 如图，为同一竖直平面内的三个点，
沿竖直方向，
；
. 将一质量为
的小球以一定的初动能自
点水平向右抛出， 小球在运动过程中恰好通过
点. 使此小球带电，电荷量为
，同时加一匀强电场，场强方向与
所在平面平行. 现从
点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球.该小球通过了
点，到达
点时的动能是初动能的
倍；若该小球从
点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过
点，且到达
点时的动能为初动能的
倍. 重力加速度大小为
. 求∶
（1）无电场时，小球到达 点时的动能与初动能的比值；
（2）电场强度的大小和方向.
【解析】
第1问是单纯的力学问题。小球作平抛运动。可以认为，小球在水平方面作匀速直线运动；在竖直方向作自由落体运动。其 v-t 图如下。
在图中可以看出：水平方向的位移对待于一个矩形的面积；而竖直方向的位移对待于一个三角形面积。三角形的底与矩形的长相等。
从几何角度看，面积比可以转化为线段长度之比。从物理角度看，根据位移比可以求出速度比，有了速度比，再求动能比就很容易了。
【解答第1问】
在无电场时，小球作平抛运动。平抛运动可以视作两个方向的运动合成：水平方向作匀速直线运动；竖直方向作匀加速直线运动。
以 点为原点，以水平方向为
轴并以向右为正 ，以向下为
轴正方向，建立坐标系。
其中， 代表小球在
点的速度的
分量。
∵ 动能
∴ 小球到达 点时的动能与初动能的比值为
【小结】
根据平面几何知识算出位移比；由位移比得到速度比；由速度比得到动能比。
【解答第2问】
因为场强方向与 所在平面平行，所以电场强度可以表示如下：
电场力也可以分解为 和
分量。
电场力做功
当小球通过点 时，
方向位移为0. 所以，从
点到
点，动能的变化等于重力做功与电场力做功之和。用公式表达：
由第1问的结论可知：
∵ 小球到达 点时的动能是初动能的
倍，
∴
∴
电场强度的大小
电场方向与 轴的正方向（即 OB 方向）成
角，也就是沿
的角平分线方向。
【提炼与提高】
可以认为：本题的背景是密立根实验。密立根实验的关键在于：将电场力与重力关联起来，根据重力测定电场力的大小。
如下图所示，当电场力与重力平衡，也就是 ，电场中的质点（油滴或小球）将保持静止或者匀速直线运动状态。假如电场力变为
，则质点将向上作匀加速运动，且加速度大小等于
, 假如电场力变为
，质点将向下加速运动且加速度的大小等于
.
在本题中，我们将电场力作为关注的焦点。求出电场力，电场强度也就知道了。
电场力有水平和竖直两个分量。分析题设条件可知：第三次运动中，水平位移为0，所以电场力的水平分量不做功，只有竖直分量做功，这就为我们提供了一个突破口。先算出 分量，再求
分量，就容易了。
本题中用到的主要公式如下。
（平抛运动）
注意，在 方向上作自由落体运动，位移公式有两种形式。其中，
用得多一些，
这种形式用得少一些。本题恰恰是用到了后一种。有部分学生可能在这里卡住。
（动能的定义）
（动能定理）
（功等于力与位移这两个矢量的内积）
（电场强度的定义）
