地标性高考物理题解：2014A25~力电综合

2014年全国卷A题25

25.（20分）如图， $O、A、B$ 为同一竖直平面内的三个点， $OB$ 沿竖直方向， $\angle BOA =60°$ ； $OB= \dfrac{3}{2} OA$ . 将一质量为 $m$ 的小球以一定的初动能自 $O$ 点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过 $A$ 点. 使此小球带电，电荷量为 $q(q \gt 0)$ ，同时加一匀强电场，场强方向与 $\triangle OAB$ 所在平面平行. 现从 $O$ 点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球.该小球通过了 $A$ 点，到达 $A$ 点时的动能是初动能的 $3$ 倍；若该小球从 $O$ 点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过 $B$ 点，且到达 $B$ 点时的动能为初动能的 $6$ 倍. 重力加速度大小为 $g$ . 求∶

2014年全国卷A题25

（1）无电场时，小球到达 $A$ 点时的动能与初动能的比值；

（2）电场强度的大小和方向.

【解析】

第1问是单纯的力学问题。小球作平抛运动。可以认为，小球在水平方面作匀速直线运动；在竖直方向作自由落体运动。其 v-t 图如下。

平抛运动 v-t 图

在图中可以看出：水平方向的位移对待于一个矩形的面积；而竖直方向的位移对待于一个三角形面积。三角形的底与矩形的长相等。

从几何角度看，面积比可以转化为线段长度之比。从物理角度看，根据位移比可以求出速度比，有了速度比，再求动能比就很容易了。

【解答第1问】

在无电场时，小球作平抛运动。平抛运动可以视作两个方向的运动合成：水平方向作匀速直线运动；竖直方向作匀加速直线运动。

以 $O$ 点为原点，以水平方向为 $x$ 轴并以向右为正，以向下为 $y$ 轴正方向，建立坐标系。

$x_{_A}=v_0 \cdot t_1$

$y_{_A}=\dfrac{1}{2} v_{_{Ay}} \cdot t_1$

$\angle BOA =60° \Rightarrow\; x_{_A}=\sqrt{3} \cdot y_{_{Ay}} \Rightarrow\; v_0=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot v_{_{Ay}}$

其中， $v_{_{Ay}}$ 代表小球在 $A$ 点的速度的 $y$ 分量。

$v_0=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot v_{_{Ay}} \Rightarrow\; v^2_{_{Ay}}=\dfrac{4}{3}v^2_0 \Rightarrow\; v^2_0 + v^2_{_{Ay}}=\dfrac{7}{3}v^2_0$

∵ 动能 $E_k=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m(v^2_x+v^2_y)$

∴ 小球到达 $A$ 点时的动能与初动能的比值为 $7:3$

【小结】

根据平面几何知识算出位移比；由位移比得到速度比；由速度比得到动能比。

【解答第2问】

因为场强方向与 $\triangle OAB$ 所在平面平行，所以电场强度可以表示如下： $\overrightarrow{E}=E_x \overrightarrow{i}+ E_y \overrightarrow{j}$

电场力也可以分解为 $x$ 和 $y$ 分量。

电场力的两个分量

电场力做功 $W=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s}=F_x \cdot s_x + F_y \cdot s_y$

当小球通过点 $B$ 时， $x$ 方向位移为0. 所以，从 $O$ 点到 $B$ 点，动能的变化等于重力做功与电场力做功之和。用公式表达：

$\Delta E_k = 5 E_{k0} = mg \cdot y_{_B} + F_y \cdot y_{_B}$

$OB= \dfrac{3}{2} OA \Rightarrow\; y_{_B}=3y_{_A}$

由第1问的结论可知： $mg \cdot y_{_A} = \dfrac{4}{3} E_{k0}$

$3mg \cdot y_{_A} + 3F_y \cdot y_{_A} = \dfrac{15}{4} mg \cdot y_{_A}$

$F_y=\dfrac{1}{4}mg$

∵ 小球到达 $A$ 点时的动能是初动能的 $3$ 倍， $x_{_A}=\sqrt{3}y_{_A}$

∴ $2E_{k0}=\dfrac{6}{4} mg \cdot y_{_A} =mg \cdot y_{_A} + F_y \cdot y_{_A} + F_x \cdot \sqrt{3} y_{_A}$

∴ $F_x=\dfrac{1}{4\sqrt{3}}mg = \dfrac{1}{\sqrt{3}}F_y$

$E_x=\dfrac{1}{4\sqrt{3}} \cdot \dfrac{mg}{q},\; E_y=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{mg}{q}$

电场强度的大小 $|\overrightarrow{E}| = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \cdot \dfrac{mg}{q}$

电场方向与 $y$ 轴的正方向（即 OB 方向）成 $30°$ 角，也就是沿 $\angle BOA$ 的角平分线方向。

【提炼与提高】

可以认为：本题的背景是密立根实验。密立根实验的关键在于：将电场力与重力关联起来，根据重力测定电场力的大小。

如下图所示，当电场力与重力平衡，也就是 $qE=mg$ ，电场中的质点（油滴或小球）将保持静止或者匀速直线运动状态。假如电场力变为 $2mg$ ，则质点将向上作匀加速运动，且加速度大小等于 $g$ , 假如电场力变为 $0.5\,mg$ ，质点将向下加速运动且加速度的大小等于 $0.5\,g$ .

在本题中，我们将电场力作为关注的焦点。求出电场力，电场强度也就知道了。

电场力有水平和竖直两个分量。分析题设条件可知：第三次运动中，水平位移为0，所以电场力的水平分量不做功，只有竖直分量做功，这就为我们提供了一个突破口。先算出 $y$ 分量，再求 $x$ 分量，就容易了。

密立根实验-受力分析图

本题中用到的主要公式如下。

$\boxed{\left\{ \begin{array}\\ s_x= v_0 t\\ s_y=\dfrac{1}{2}gt^2=\dfrac{1}{2}v_1 t \end{array} \right.}$ （平抛运动）

注意，在 $y$ 方向上作自由落体运动，位移公式有两种形式。其中， $\dfrac{1}{2}gt^2$ 用得多一些， $\dfrac{1}{2}v_1 t$ 这种形式用得少一些。本题恰恰是用到了后一种。有部分学生可能在这里卡住。

$\boxed{E_k=\dfrac{1}{2} m v^2 = \dfrac{1}{2}m (v^2_x + v^2_y)}$ （动能的定义）

$\boxed{W + E_{k0} = E_{k1}}$ （动能定理）

$\boxed{W=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s} = F_x \cdot s_x + F_y \cdot s_y}$ （功等于力与位移这两个矢量的内积）

$\boxed{\overrightarrow{E}= \dfrac{\overrightarrow{F}}{q}}$ （电场强度的定义）

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2014年全国卷A题25

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