用numpy 实现矩阵的运算

定义矩阵

例如：定义如下矩阵

$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}$

_B = [[3,5,7],[4,6,8]]
B = np.asarray(_B)
B 

结果：
array([[3, 5, 7],
       [4, 6, 8]])
       
A=np.mat("3 5 7;4 6 8")

print(A)
结果：
[[3 5 7]
 [4 6 8]]

矩阵的基本运算

加（减）法

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 1+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \end{bmatrix}$

_B = [[1,3,1],[1,0,0]]
B = np.asarray(_B)

_A = [[0,0,5],[7,5,0]]
A = np.asarray(_A)

A+B

array([[1, 3, 6],
       [8, 5, 0]])

数乘

$2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\ 2\cdot 4 & 2\cdot (-2) & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

_A = [[1,8,-3],[4,-2,5]]
A = np.asarray(_A)

2*A

array([[ 2, 16, -6],
       [ 8, -4, 10]])

转置

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & 7 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$

使用A.T 来表达转置

_A = [[1,2,3],[0,6,-7]]
A = np.asarray(_A)

print(A)
print(A.T)

[[ 1  2  3]
 [ 0  6 -7]]

[[ 1  0]
 [ 2  6]
 [ 3 -7]]

矩阵乘法

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

使用matmul()方法

_B = [[1,0,2],[-1,3,1]]
B = np.asarray(_B)

_A = [[3,1],[2,1],[1,0]]
A = np.asarray(_A)

np.matmul(B,A)

array([[5, 1],
       [4, 2]])

求解线性方程组
使用np.linalg.solve()方法
考虑以下线性方程：

3*x + y = 9

x + 2y = 8

a = np.array([[3,1], [1,2]])
b = np.array([9,8])
x = np.linalg.solve(a, b)
x
array([ 2.,  3.])

求逆矩阵

使用np.linalg.inv()函数

A = $\begin{bmatrix}1&3\\\\3 &4\end{bmatrix}$

求 $A^-1$ = $\begin{bmatrix}4/9 & 1/3\\\\1/3 &0\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1&3\\\\3 &4\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}4/9 & 1/3\\\\1/3 &0\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}1 & 0\\\\0 &1\end{bmatrix}$

A=np.mat(np.array([[0,3],[3,4]]))
#求A 的逆矩阵
A_=np.linalg.inv(A)
print("A的逆矩阵：\n",A_)

#验证A*A_是否是单位矩阵
print("A*A_:\n",A*A_)

A的逆矩阵：
 [[-0.44444444  0.33333333]
 [ 0.33333333  0.        ]]
A*A_:
 [[ 1.  0.]
 [ 0.  1.]]

行列式

使用np.linalg.det()函数

import numpy as np
 
b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) 
print (b)
print (np.linalg.det(b))
print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))

[[ 6  1  1]
 [ 4 -2  5]
 [ 2  8  7]]
-306.0
-306

特征值与特征矢量

使用np.linalg.eig()方法

A=np.mat("3 -2;1 0")

# 求特征值 和 特征向量
eigenvalues,eigvector=np.linalg.eig(A)
print("特征值：",eigenvalues)
print("特征向量：\n",eigvector)

对称

$#todo
正定性

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最后编辑于：2019.03.21 23:48:25