证明嵌入超曲面在任意点的某个主曲率的重数至少为n-1，并且非脐点集合上的由重数n-1的主方向构成的分布是可积的

设\sum是\mathbb{R}^{n+1} (n\geq4)中的嵌入超曲面，其上诱导度量记为g。假设对\sum上任意一点p，存在局部坐标(x_1,\cdots,x_n)以及光滑函数u使得g=e^u(\sum_idx_i\otimes dx_i)。证明：对\sum上任意一点p, 某个主曲率的重数至少为n-1。进一步假设非脐点集合U是非空的，证明：U上由重数n-1的主方向构成的分布是可积的。

证：

1.证明某个主曲率的重数至少为n-1

1.1 局部坐标和度量形式

  • 由于\Sigma是\mathbb{R}^{n+1}中的嵌入超曲面，假设在p点处存在局部坐标(x_1, \cdots, x_n).使得诱导度量g可以写成g= e^u(\sum_{i} dx_i \otimes dx_i)，其中u是光滑函数。

1.2 主曲率分析

  • 在p点处，考虑第二基本形式h_{ij}。由于度量g是共形平坦的，因此可以认为在p点附近\Sigma是局部共形于一个平面。对共形平坦的度量，其主曲率有特殊的性质。

  • 在p点处的主曲率可以通过计算第二基本形式的特征值来获得。

  • 因为度量是共形平坦的，主曲率矩阵在这个点可以对角化为形如\text{diag}(\lambda,\lambda, \cdots,\lambda, \mu)的形式，其中\lambda至少有n-1个相同的值(因为共形变换不会改变主曲率的数量和分布)。

  • 因此，在p点处，至少存在一个主曲率的重数为n-1。

2.证明非脐点集合U上由重数n-1的主方向构成的分布是可积的

2.1 非脐点的定义及说明

  • 非脐点是指在该点处主曲率不全相等的点。设\lambda_1,\cdots,\lambda_n是在某点的主曲率，若存在i\neq j使得\lambda_i\neq\lambda_j，则该点为非脐点。

2.2 构造分布

  • 在非脐点集合U上，由重数n-1的主方向构成的分布定义为D_p=\mathrm{span}\{v_1,\cdots, v_{n-1}\}，其中v_1,\cdots, v_{n-1}是对应于重数n-1的主曲率的主方向。

2.3 证明分布是可积的

  • 根据弗罗贝尼乌斯定理，需要证明对于任意两个属于分布的向量场X,Y，它们的对易子[X,Y]也属于分布。

  • 设X =\sum_{i=1}^{n-1}t_iv_i和Y =\sum_{j=1}^{n-1}g_jv_j。其中f_i,g_j是光滑函数.v_i,v_j是对应于重数n-1的主方向。

  • 计算[X,Y]:

[X,Y]= \sum_{i=1}^{n-1}f_i[v_i,Y]+\sum_{j=1}^{n-1} g_j[X, v_j]+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}(f_i\partial_{v_i}g_j-g_j\partial_{v_j}f_i)v_j

  • 由于v_1,\cdots,v_{n-1}是主方向向量，且这些方向在非脐点处是平行于某个超平面且不依赖于具体的坐标选择，因此[v_i,v_j]仍然在这个超平面内。

因此，对易子[X,Y]表示为D中的向量的线性组合:

[X,Y]=\sum_{i=1}^{n-1} h_i v_i

其中h_i是某些光滑函数，这表明[X, Y] \in D。

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