机器学习笔记：AdaBoost 公式推导

AdaBoost 是集成算法中 Boosting 家族的一种，它的特点是分类器串行。首先要知道加法模型和指数损失函数。

加法模型

$f(x) = \sum\limits_{m=1}^{M}\alpha_mG_{m}(x)$

加法模型是一个加和模型，每一轮训练一个分类器 $G_{m}(x)$ ，并且基于这个分类器的误差，得到这个分类器的权重 $\alpha_m$ 。

指数损失函数

$L(y,f(x)) = \exp[-yf(x)]$

对于分类模型而言，上述损失函数，在分类正确的时候，指数部分为负数；在分类错误的时候，指数部分为正数，符合损失函数的意义。

公式推导

1、由加法模型的定义：
$f(x) = \sum\limits_{m=1}^{M}\alpha_mG_{m}(x)$
得到迭代公式：
$f_m(x) = f_{m-1}(x) + \alpha_mG_{m}(x)$
这里 $m > 1$ 。此时应该认为函数 $f_{m-1}(x)$ 是已知的，每一轮迭代求的是分类器 $G_{m}(x)$ 和这个分类器的权重 $\alpha_m$ 。

2、将 $f_m(x) = f_{m-1}(x) + \alpha_mG_{m}(x)$ 代入损失函数得：
$L(y,f(x)) = \sum_{i=1}^{N}\exp[-y_i(f_{m-1}(x) + \alpha_mG_{m}(x))]$
把指数加法因子展开，变成指数的乘积（想一下具体的例子： $a^{5+3} = a^5 \cdot a^3$ ）得到：
$L(y,f(x)) = \sum_{i=1}^{N}[\exp[-y_i(f_{m-1}(x)][\exp(-y_i\alpha_mG_{m}(x))]]$

3、由于 $y_i$ 和 $f_{m-1}(x)$ 已知，可以令 $\overline w_{mi} =\exp[-y_if_{m-1}(x_i)]$ ，于是
$L(y,f(x)) = \sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi} \exp(-y_i\alpha_mG_{m}(x))$
于是分类器 $G_{m}(x)$ 和这个分类器的权重 $\alpha_m$ 可以表示成：
$(\alpha_m^{*},G_{m}^{*}(x)) = \underbrace{arg\;min\;}_{\alpha,G} \sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi} \exp(-y_i\alpha_mG_{m}(x))$

4、先求 $G_{m}^{*}(x)$ ，看上面的式子，分类器的权重 $\alpha_m$ 可以认为是一个确定的数， $G_{m}^{*}(x)$ 是使得分错的（带权重的）样本里损失函数最小的那个，可以写成：
$G_{m}^*(x) = \underbrace{arg\;min\;}_{G} \sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi} I(y_i \neq G(x_i))$
注意：重点理解上面两个式子的等价性，这一步相当于针对不同权重的样本训练分类器。

5、得到 $G_{m}^{*}(x)$ 以后，再求 $\alpha_m^*$ 。还是看损失函数，可以写成：
$\begin {aligned} L(y,f(x)) &= \sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi} \exp(-y_i\alpha_mG_{m}(x)) \\ &=\sum_{y_i = G_m(x_i)}\overline w_{mi} e^{-\alpha} + \sum_{y_i \neq G_m(x_i)}\overline w_{mi} e^{\alpha} \\ &=\sum_{y_i = G_m(x_i)}\overline w_{mi} e^{-\alpha} + \sum_{y_i \neq G_m(x_i)}\overline w_{mi} e^{-\alpha} - \sum_{y_i \neq G_m(x_i)}\overline w_{mi} e^{-\alpha} + \sum_{y_i \neq G_m(x_i)}\overline w_{mi} e^{\alpha} \\ &= e^{-\alpha}\sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi} + (e^{\alpha} - e^{-\alpha})\sum_{y_i \neq G_m(x_i)}\overline w_{mi} \\ &= e^{-\alpha}\sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi} + (e^{\alpha} - e^{-\alpha})\sum_{i=1}^N \overline w_{mi} I(y_i \neq G_m(x_i)) \end{aligned}$
把上式对 $\alpha$ 求导，再令导函数为 $0$ ，得：
$-e^{-\alpha}\sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi} + (e^{\alpha} + e^{-\alpha})\sum_{i=1}^N \overline w_{mi} I(y_i \neq G_m(x_i)) = 0$
上式两边同时除以 $\sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi}$ ，得：
$-e^{-\alpha} + (e^{\alpha} + e^{-\alpha})\cfrac{\sum_{i=1}^N \overline w_{mi} I(y_i \neq G_m(x_i))}{\sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi}} = 0$
令 $\cfrac{\sum_{i=1}^N \overline w_{mi} I(y_i \neq G_m(x_i))}{\sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi}} = e_m$ ，则有：

$\begin {aligned} -e^{-\alpha} + (e^{\alpha} + e^{-\alpha})e_m &= 0 \\ (e^{\alpha} + e^{-\alpha}) e_m &= e^{-\alpha} \\ (e^{2\alpha} + 1)e_m &= 1 \\ e^{2\alpha} + 1 &= \cfrac{1}{e_m} \\ e^{2\alpha} &= \cfrac{1}{e_m} -1 = \cfrac{1 - e_m}{e_m} \\ 2\alpha &= \log\cfrac{1 - e_m}{e_m} \\ \alpha &= \cfrac{1}{2}\log\cfrac{1 - e_m}{e_m} \end {aligned}$

于是得到使得损失函数最小的
$\alpha_m^* = \cfrac{1}{2}\log\cfrac{1 - e_m}{e_m}$
这里
$e_m =\cfrac{\sum_{i=1}^N \overline w_{mi} I(y_i \neq G_m(x_i))}{\sum_{i=1}^{N}\overline w_{mi}} =\sum_{i=1}^N w_{mi} I(y_i \neq G_m(x_i))$

权重更新公式

那么权重如何更新呢？
已知：
$f_m(x) = f_{m-1}(x) + \alpha_mG_{m}(x)$
和我们之前的定义：
$\overline w_{mi} =\exp[-y_if_{m-1}(x_i)]$
于是就有：
$\begin {aligned} \overline w_{m+1,i} &=\exp[-y_if_{m}(x_i)] \\ &=\exp[-y_i[f_{m-1}(x_i) + \alpha_mG_{m}(x_i)]]\\ &=\exp[-y_if_{m-1}(x_i)]\exp[-y_i\alpha_mG_{m}(x_i)]\\ &=\overline w_{m,i}\exp[-y_i\alpha_mG_{m}(x_i)] \end {aligned}$

（本节完）

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