Notes on 极大似然估计（MLE）

从总体 $X$ 中取出n个样本 $X_1,X_2,...,X_n$ ，观测值分别为 $x_1,x_2,...,x_3$ ，则似然函数为
$\mathcal{Lik}(\theta)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta)$
求使得出现样本概率最大的参数 $\hat{\theta}$ 作为 $\theta=[\theta_1,\theta_2,...,\theta_k]^\top$ 的估计值
$\hat{\theta}=arg\ max_\ \mathcal{Lik}(\theta)=arg\ max\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$
为了方便计算，对 $\ Lik(\theta)\ $ 取对数得到对数似然函数
$\ell(\theta)=\sum_{i=1}^nlogf(x_i;\theta)$
又记梯度算子
$\nabla_\theta=[\frac{\partial}{\partial\theta_1},\frac{\partial}{\partial\theta_2},...,\frac{\partial}{\partial\theta_k}]^\top$
若似然函数满足连续可导的条件，则最大似然估计量 $\ \hat{\theta}\$ 就是如下方程的解
$\nabla_\theta \ell(\theta)=\sum_{i=n}^n\nabla_\theta logf(x_i;\theta)=0$

例设样本服从正态分布 $\ \mathcal{N} (\mu, \sigma^2)$ ，则似然函数为
$\mathcal{Lik}(\mu,\sigma^2)=\prod_{i=1}^N\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2)$
对数似然函数
$\ell(\mu,\sigma)=-\frac{n}{2}log(2\pi)-\frac{n}{2}log(\sigma^2)-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2$
得方程组
$\left\{ \begin{align} &\frac{\partial}{\partial\mu}\ell(\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)=0 \\ &\frac{\partial}{\partial\sigma}\ell(\mu,\sigma)=-\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=0 \end{align} \right.$
解得 $\ \hat{\mu}=\bar{x},\hat{\sigma^2}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\$ 为极大似然估计参数。

定义 $\ Fisher\$ 信息
$\mathcal{I}(\theta)=\mathbb{E}[\nabla logf(X;\theta)\nabla logf(X;\theta)^\top]$
其中， $\ f(X;\theta)\$ 是分布的密度函数。（不是似然函数。）

引理
$\mathcal{I}(\theta)=-\mathbb{E}[\nabla^2logf(X;\theta)]$
定理在 $\ f\$ 具有合适的平滑条件下，来自 $\ i.i.d\$ 样本的最大似然估计具有一致性。且
$(\hat{\theta}-\theta_0)→\mathcal{N}(0,\frac{1}{n\mathcal{I}(\theta_0)})$
其中， $\dfrac{1}{n\mathcal{I}(\theta_0)}$ 称为最大似然估计的渐进方差。

例伯努利分布 $\ B(p)\$ 有密度函数
$f(x|p)=p^x(1-p)^{1-x},\ x=0,1$
取对数
$logf(x|p)=xlogp+(1-x)log(1-p)$
求导
$\frac{\partial}{\partial p}logf(x|p)=\frac{x}{p}-\frac{1-x}{1-p},\ \ \frac{\partial^2}{\partial p^2}logf(x|p)=-\frac{x}{p^2}-\frac{1-x}{(1-p)^2}$
得到 $\ Fisher\$ 信息
$\mathcal{I}(\theta)=-\mathbb{E}[\frac{\partial^2}{\partial p^2}logf(X|p)]=\frac{\mathbb{E}X}{p^2}+\frac{1-\mathbb{E}X}{(1-p)^2}=\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}=\frac{1}{p(1-p)}$
得到渐进方差
$\sigma^2=\frac{1}{n\mathcal{I}(\theta)}=\frac{p(1-p)}{n}$
即
$(\hat{\theta}-\theta_0)→\mathcal{N}(0,\frac{p(1-p)}{n})$

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