微积分的产生与发展是近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干及其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想。事实上，无论微积分的计算法则，还是微积分的思想核心都在于极限理论。极限理论充分地发挥了数学符号表达的功效，使得数学研究的对象从常量走向变量，从静态走向动态，从平直走向弯曲。

我们先来说说微积分的产生。

现代科学的发展得益于文艺复兴。文艺复兴是从重新认识古希腊文明开始的，这个重新认识恢复了人的地位和尊严。新的思想、新的科学、新的技术如雨后春笋，这些都构成了微积分产生的背景。

新的思想主要体现于两位杰出人物，一位是英国哲学家培根，另一位是法国哲学家、解析几何的创始人笛卡尔。培根探求研究科学的方法，是近代归纳法的创始人。培根说过一句名言：知识就是力量。笛卡尔寻求建立真理的方法，强调直觉和演绎。迪卡尔的名言是：我思故我在。他们所倡导的理性精神和实证方法，无论是对自然科学还是对人文科学都产生了积极而深远的影响。

新的科学是从哥白尼开始的，他的日心说划破了欧洲中世纪千年的黑暗。

对微积分进行系统阐述，从而建立起这门学科的是牛顿和莱布尼茨。

微积分的核心是极限运算。一个典型的例子，就是牛顿关于瞬时速度的思考。就像高速摄影的定格，牛顿用静态的计算非常美妙地刻画了动态过程的瞬间。尽管还有许多问题说不清楚，但牛顿用他创造出来的数学方法，成功地描述了那个时代人们所关心的一切自然现象：物体下落、行星运动、彗星周期、海洋潮汐、光的折射、力的表达等等。这充分说明，牛顿已经成功地完成了关于极限运算的第一步抽象。当然，为了寻求合理的解释，人们还需要进行第二步抽象。但是，虽然第二步抽象的结果在形式上可能是美妙的，但第一步抽象却更为本质，因为第一步抽象发现新的知识，第二步抽象只是合理地表达了新的知识。

莱布尼茨研究的问题与牛顿不同，但是在本质上是一致的，都用到了极限计算。莱布尼茨首先定义了函数，用它表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量的纵坐标，然后莱布尼茨研究用函数表达的曲线的切线，这个切线与倒数有关，并且比牛顿研究的瞬时速度更具几何直观。

经过近二十年的努力，莱布尼茨于1684年在《教师学报》上发表了他关于微积分的第一篇论文，这也是第一篇系统阐述微积分的论文。与牛顿相同的是，莱布尼茨也不能很好地解释极限运算的规则。与牛顿不同的是，莱布尼茨是一位伟大的哲学家，面对来自各个方面的过分苛刻的批评，他在1695年《教师学报》的文章中给出了富有哲理的、今天仍然有价值的回答：“过分的审慎不应该使我们抛弃创造的成果。”

积分最初的目的是计算被曲线围成的区域的面积。这是一个非常古老的问题，一直可以追索到古希腊的学者欧多克斯和阿基米德。到来17世纪，借助直角坐标系，人们把问题阐述得更加清晰。与求瞬时速度的想法一样：如果令n趋于无穷大，则小矩形面积之和就会等于曲线下面积。

莱布尼茨是个制造符号的高手，他把这一系列的计算过程用符号代替，把计算方法推广到一般。这样，积分学就建立起来了。

由解析几何知道，一个连续函数总能与一条曲线对应，于是积分就有了很好的直观解释：一个函数的积分就是对应曲线下面积。积分的本质也是利用了极限运算。

由牛顿和莱布尼茨发明微积分的过程可以知道，他们的思想依赖的是物理直观和几何直观。直观是创造的源泉，但不能作为解释创造的根据。极限理论严谨化的历程是数学家再抽象的过程。再抽象要求数学家必须对极限给出明确的定义。理解极限运算是困难的，根本原因是要涉及无穷的概念。这将涉及极限运算、无穷小量、连续函数、导数、微分、积分、无穷级数等一系列概念。是瑞士数学家惠利尔给出了极限的符号，并沿用至今。

事实上，不仅创造需要依赖直觉，理解也需要依赖直觉。理解极限首先要从离散的、变化的量开始。当一个量以小于任何给定的量逼近另一个量时，就可以说后者是前者的极限。极限理论是微分学真正形而上学的基础。

经过柯西以及与柯西同时期数学家们的努力，终于可以理解并表达离散量的极限。但对于微积分来说，更需要的是关于连续量的极限，这将涉及函数及函数的连续性。无论是牛顿还是荣布尼茨，他们创建的微积分的计算对象都是函数。

函数这个词最初出现在莱布尼茨的一部手稿中，用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。后世数学家认识到，微积分只是一种计算方法，而要把这种计算方法的理论基础研究清楚，必须建立一个从头到尾相对成体系的学科数学分析。

对于研究者而言，事物的高度抽象有利于把握事物的本质，分析事物间的关联，对于学习者而言，过分抽象往往会适得其反，因为每一次抽象都必须舍去事物的一部分表象，进而舍去了事物原本的生动与直观。