2019北大综合营数学第5题
题目：
将10条长度为1的线段分成若干段，证明在得到的所有线段中一定可以找到6条线段，能够组成两个三角形。
分类一：存在2及以上个线段，每个线段中均可以找出三条线段构成三角形
分类二：仅存在1个线段，可以找出一个三角形
分类三：
线段中均不能从自身中找出三角形
证明
引理：对于一个不能从自身找出三角形的线段，一定会有一根线段长度
。
证明：
考虑一条线段被切分后的所有线段共n条，将他们按照长度由大到小依次排列，并且记排列后的数列为a。显然，如果一条线段中没有三条线段可以构成三角形，那么他一定满足如下规律
观察到这一点，我们通过尝试发现，实际上
(1)
显然，(1) 对 n=1,2,3均成立。假设(1)对于任何
均成立，考虑
的情况，观察一下已知情况
所以，
再结合1. 中的情况，显然有
成立
对于
均有归纳假设成立，引理得证
对于分类一，显然是满足题意的。
对于分类二，剩下九条线段中一定是不能再自身线段中找到都成三角形的。所以，最长的线段一定。下面使用抽屉原理
按照线段的长度分出两个抽屉
,
那么显然至少有一个抽屉中有3条线段。易证明，同一个抽屉中的三条线段一定是可以构成三角形的。
所以原命题得证。
对于分类三，剩下10条线段，证明过程与分类二类似，不再赘述。
按照这么推导，有没有觉得给10条结论怪怪的？
是不是8条就够了呢？是不是我们哪里有问题呢？
