二项式定理

二项式定理（英语：Binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂展开为类似项之和的恒等式。

定义

(x+y)^n =\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k
例如：
(a+b)^3 = \frac{3!}{0!3!}a^3b^0+ \frac{3!}{1!2!}a^2b^1+ \frac{3!}{2!1!}a^1b^2+ \frac{3!}{3!0!}a^0b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}表示的组合，即从n中选出k个元素。
组合的公式：\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

使用画图法

使用帕斯卡三角，可以快速的计算二项式系数


快速获取系数

(a+b)^n的各项的系数等于前一项中a的指数乘以该项系数再除以该项的序号。
以(a+b)^4为例：


(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

二项式定理为什么涉及到组合

以(a+b)^3为例，将其展开：


展开的多项式中，每一项都由三个颜色中的a/b构成。
a^3
即
aaa
出现的次数为
\begin{pmatrix} 3 \\3 \end{pmatrix}
也就是3个选项中选择特定三个的次数，即1次。
a^2b
即三个选项中a出现两次，即
\begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix}
，也就是出现3次。
ab^2
即三个选项中a出现一次，也就是
\begin{pmatrix} 3 \\1 \end{pmatrix}
，也就是出现3次。
b^3
即三个选项中a出现0次，也就是
\begin{pmatrix} 3 \\0 \end{pmatrix}
，也就是出现1次。

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