这几次的讨论班讲的是Yangian symmetry, 讲完这次就讲完了the series of lectures "An Integrability Primer for the Gauge-Gravity Correspondence: an Introduction"[1606.02945]。这套讲义相比于1012 AdS/CFT integrability 那篇鸿篇巨制，把重心放在了可积性本身，而不是其在AdS/CFT里应用，所以关与可积性的内容更加细致也更加general，能更好的地帮助我们理解可积性这个概念。还有一个特点是，讲义大都是follow了最经典最原始的文献。比如讲Yangian的这篇是从Yang的一维可解模型还有Drinfeld的quantum group工作开始。场论可积结构那篇是完全遵循 了Zamolodchikov的CFT 可积结构的工作。
另外一篇参考的讲义是o4年MacKay's Introduction to Yangian symmetry in the integrable field theory.
我们还是从Yangian最初的motivation 出发：Yang-Baxter equation and R-matrix。
(Michio Jambo 编过一个Yang-Baxter equation in integrable systems 的论文集)
What's a R-matrix?
这个概念是Yang 在研究1-维可解模型的时候提出来的。Yang的模型很简单，就是一维的多粒子量子力学，粒子直接有一个delta function的势。因为1-维自带一个order，这里就可以与spin-chain 做一个对比。spin chain的可以用Bethe ansatz求解，大概的想法就是，猜一个eigenfunction的形式：平面波的叠加，这个eigenfunction里面有一些参数：叠加系数，然后把这个eigenfunction带入到Schrodinger equation去确定那些参数。Yang的做法是一样的，他发现交换两个粒子的顺序的时候，与其对应的两个叠加参数差一个因子，就是R-matrix。我们可以考虑所有的交换，然后得到所有可能的R-matrix，这些R-matrix自洽的条件就是Yang-Baxter equation。这样，求解量子力学的问题变为了求解YBE的问题。R-matrix是一个矩阵，自然会问他作用的线性空间是什么？Yang的model比较简单，这个线性空间就是粒子的label 空间，也就是粒子的编号空间，因为这是这个系统唯一的“internal space”(用来区别不同的态。)更一般的，R-matrix 是作用在区别不同态的（quantum number）的intenal vector space V里的。这个intenal space 就是系统 internal symmetry的一个表示空间。注意这里，R-matrix是同时作用在两个粒子上的（比如交换），所以更准确的来说R-matrix是作用在 （V 直积 V）上。
我们（其实是Drinfeld)可以把问题更加抽象化，一般化，就是不考虑某一个表示，而是考虑internal symmetry 对应的李代数g本身，定义一个R operator 作用在 g直积g 上。这样给定一个g的表示我们就能得到一个R-matrix。同时我们把YBE也转化为一个定义在g上方程。为什么要这么做？这就是Drinfeld的工作：如果在g的基础上，我们能把g扩展成一个更大的代数Y[g]，再假设R 可以写成一个级数展开的形式，那么R operator 是由 Y[g] 唯一确定的。比如R 展开的non-trivial leading order 就是g的Casimir. 这个更大的代数 Y[g]就是Yangian algebra。这样，求解YBE的问题就变为了Yangian algebra的分类还有表示问题。
Yangian algebra的定义或者说实现可以有3种，我们先介绍first realizatoin。
- 开始我们有一个simple Lie algebra g，它的生成元是{Ja}满足[Ja,Jb]=fabc Jc。在这个代数上引入一个coproduct Delta: Ja --> 1 直积 Ja+Ja 直积 1，他是一个代数homomorphism。coproduct告诉我们对称性Ja怎么作用在2个粒子上。刚才的coproduct 是trivial 以为这个对称操作只是分别独立地作用在两个粒子上。
- 加入另外一组生成元{Ja'}。并且满足[Ja,Jb']=fabc Jc'。同样的我们需要一个coproduct：Ja'--> 1 直积 Ja'+Ja' 直积 1-1/2 fabc Jb 直积 Jc。注意这个coproduct是non-trivial的，最后一项是要同时作用在两个粒子上，而不是分别作用。
- 要求 我们刚才定义的新的coproduct也是一个homomorphism，这就需要引入一个限制：Drinfeld's terrific relation。这个relation 确保 [Ja',Jb'] 定义的其他生产元是唯一的。
(有了coproduct, 我们还可以加入与之匹配的counit 和antipode 把Yangian 升格成Hopf algebra。)
我们可以对比Yangian algebra 的这个realization 和 lie algebra。 首先我们发现，这里的定义的Yangian algebra 的生成元没有直接给出，而是只给出了{Ja} 和{Ja’}，其他的生成元需要通过做commutator得到。事实上，Yangian algebra的生成元有无穷多个并且可以想象有一个level（grading）的结构: {Ja} 和 {Ja'} 分别具有level 0 和level 1，然后两个level 1的生成元的commutator 定义了一个level 2的生成元。这样一直构造higher level的生成元。 另外一个更重要的区别是Yangian algebra 要自带一个non-trvial 的coproduct （homomorphism）。
另外一个之后会用到的重要的性质是，Yangian 具有一个自同构。自同构就是自身到自身的映射（比如spectral flow），也可以理解其把Yangian的一个表示映射到另外一个表示。
What's Yangian symmetry?
我们要怎么理解Yangian 对应的对称性 Yangian symmetry 呢？或者一个等价的问题是 How does Yangian act on states? 与其对应的的数学的问题是研究Yangian的表示论。我们把这个问题延后，先假设我们已经有了Yangian的一个表示，其对应的线性空间为physical states，然后看Yangian symmetry 在其上的作用。因为是symmetry所以Yangian generator 和 S-matrix 是对易的。我们考虑2->2的S-matrix, Yangian作用在2粒子态是由coproduct Delta 给出，所以我们等式 Delta^T S=S Delta, 这里Delta^T是表示我们要交换两个粒子的顺序，因为我们在定义out-state的粒子的顺序和in-state 的粒子顺序是相反的，所以Delta 作用在out-state 上时要交换一次顺序。有这个式子出发我们可一推出S-matrix 需要满足YBE （原因就是Delta是non-trival的，并且推导的时候要用到Yangian的自同构）。本来S-matrix是一个矩阵，但是YBE往往可以把S-matrix 限制到up to a scalar function。然后我们继续利用crossing 还有unitarity 去最后bootstrap 这个scalar function。
上面的讨论是从对称性角度出发，类似于我们研究一个一般CFT的讨论。但是实际的情况可能更多的是从一个场论出发，然后想办法找到他的对称性，换句话说怎么从场论来理解这无穷多个 Yangian generators，他们对应一些怎样的守恒量？
当然具有Yangian symmetry的场论是特殊的，至少他首先要有对称性g, 对应的守恒流和守恒荷分别是ja 和 Ja。如果ja不但是守恒的，而且是flat的，那么我们就能构造无穷多个守恒量。可以用ja 构造一个covariant derivative D，然后因为ja是守恒的，可以引入一个potential chi, 利用ja flat还有守恒d 条件就可以发现 Dchi 也给出一个另外一个守恒流。一直像这样做下去，就可以构造无穷多个守恒流。因为potential chi由ja的积分给出，所以这样构造的守恒流都是non-local的形式，对应的charge自然也都是non-local的。这些守恒量可以有一个生成函数：Monodromy T，统一得到。这也是我们熟悉的story。利用ja，可以构造一个带有谱参数的Lax connection ，Lax connection的积分给出T。T对谱参数在无穷处暂开，就得到逐阶的守恒量。但是我们还要说明他们确实构成了Yangian。在经典水平下，代数结构由Possion bracket 确定。对于某些经典可积场论，确实这次守恒量在Possion bracket下构成Yangian。
我们更关心的是量子场论，对这些守恒量量子化我们要考虑2点。一是我们要考虑重整化的场强修正；二是我们要处理OPE因为在non-local 守恒量的表达式里涉及乘积。因为守恒量是non-local的，定义里面也涉及一个积分contour。如果我们做一个boost, 那么这个contour可能会hit到OPE产生的pole,这样 boost后的守恒量就会多了一个修正。这说明boost 和non-local charge 是非对易的，也就意味着global symmetry 和internal symmetry 不是直积起来的。这是二维场论特殊的地方！这个boost就是我们之前提到的Yangian的自同构。这里我们问一个有意思的问题，是否在高维场论有类似的情况？首先有no-go theorem 说明在高维global symmetry 和internal symmetry 必须是直积不然理论是trivial的（S-matrix=I）。再有，对于高维我们不清楚怎样定义类似non-local charge，因为在定义这些non-local charge的时候，需要一个空间的order ，这个只有1+1维有自然的order。如果系统量子可积的，那么monodromy要满足所谓的RTT relation。而RTT relation 就是Yangian algebra的second realization：由T展开得到的generator modulo RTT relation 得到的algebra 和Yangian是同构的。
我们再回来讨论一下Yangian的表示。这里我们可以对比Lie algebra还有Viraso algebra的表示来讨论。有些结论是直觉的，有些是有点反直觉的。讨论表示的时候Yangian 的third realization 比较直观. 在前两种realization里，不是所有的generator都直接给出的，3rd realization 直接给出了所有的生成元，虽然是无穷多个，我们可以用level来label他们。这个realization 是说Yangian 同构与一个代数，这个代数类似于一个Lie 代数，有 Cartan 和 root, 只不过 Cartan 和root都带有一个level 的指标。然后他们之间的commutator也类似于Cartan root之间的commutator。这里说的比较笼统，但是这里只是想说明Yangian也就有Cartan root类似的结果。这样我们就可以类比Lie algebra 来研究他的表示。一个直觉的结论就是，Yangian的有限维表示都是highest weight rep。所以每个rep对应一个weight,这个weight可以理解为Cartan 在Vacuum上的本征值。如果Lie algebra g的rank 是r,那么g 有r个fundamental 表示，这个也可以直观理解，因为g的weight是一个r-dimensional vector 自然具有一个r 维的基。这个对于Yangian也成立：如果g的rank 是r,那么Y[g]有r个fundamental 表示，并且其他finite rep可以由fundamental rep的tensor product 得到。对于Lie algebra所有的highest weight rep 都是有限维的；对于Virasoro algebra所有的highest weight rep 都是无限维的；Yangian是介于之间，虽有所有有限的表示都是highest weight rep但是有的highest weight rep却是有些是无限维，这里有一个判据，具体我们省略这里。
最后我们还讲了一些spin chain中的Yangian, 这个之前在讲long-rang spin的时候讲过，其实也很简单如果利用RTT的realization因为对于可积spin chain我们可以定义monodromy。唯一比较特别的一点是关于spin chain 的边界条件选取对Yangian的影响。对于场论，在定义non-local charge的时候，我们是假设了场论在无穷远是trivial 。但是对于spin-chain，往往finite chain是有意思的。这就要求我们提供合适的边界条件，其实大部分的我们常用的边界条件与Yangian是冲突的。比如周期边界，还是因为定义non-local charge的时候要选取一个origin来空间一个order，这就先天破坏了周期性边界条件。具体去看的话就是看non-local charge与Hamiltonian的对易子[Ja',H]。这个不为0，而是得到一些边界项。再有一个常用的是cyclic 边界条件，同样发现non-local charge 与shift operator是不对易的。对于半有界的边界，Yangian会被modify 成为一个twisted Yangian。
