"他在物质世界里找到了两把钥匙；他在物理世界里找到了一个支点。他打开了理论升级的大门。"
——“双生悖论”随笔之九
一、为什么要升级
在狭义相对论中讨论的一对孪生兄弟，兄长乘飞船离开地球，弟弟看到飞船上的钟走慢了，兄长变得年轻了；反之，飞船上的那一位看到地球上的钟走慢了，弟弟会变得更加年轻。他们各自在自己的时空中，是对另一个相对于自己运动的时空观测到的结果。
他们处于相互对称的地位，双方测量的结果都是正确的。但他们再也不能相遇，狭义相对论限止了他俩在同一个参考系中见面和比较，因此单就这个理论，是无法鉴别出谁真正年轻。
要真正解决这个问题，这个理论就需要升级。
狭义相对论的升级显然不光是为了解决“双生悖论”的问题。理论本身就存在着缺陷，像是一个不完善的初级阶段的理论。
首先，不能讨论普遍存在的非惯性系问题，仅限在惯性系中讨论问题，理论受到参考系的局限，事实上，严格意义上的惯性系并不存在，大量遇到的事件都是发生在非惯性系中；
其次是不能讨论普遍存在的万有引力问题，在地球上无论那一个参考系都有引力的存在，即便是在宇宙间也没有一处没有引力的地方。
因此，要在非惯性系中、在引力场中讨论这些问题，这个理论必须升级。
下面就这两个问题进行一些分析，看能否为理论的升级找到出路。
先看惯性系存在的局限性。
从历史上看，力学理论建立的初级阶段，惯性系的出现是必然的，是理论建立的一块重要基石。任何对物体运动的描述，都会从这里开始。起初人们是在力学范围内使用惯性系，通过伽利略变换，发现牛顿运动规律在不同的惯性系中形式是一样的；到20世纪初，狭义相对论问世了，通过洛伦兹变换，无论是力学的还是电磁学的规律表述形式在任何惯性系中也都是一样的。这就显示了在物理学中使用惯性参考系的优越性，惯性参考系成了展示经典物理学的舞台。
在不同的惯性系中表述的物理定律的形式一样，这就是所谓的“相对性原理”，或称作物理规律表述的“协变性”。惯性参考系能完成这样的变换，这就是惯性系优越和特殊的地方，这也是狭义相对论选择惯性系的理由。显然，这里相对于惯性系的“相对性原理”或“协变性”，也只能是狭义的。
牛顿是在绝对时空的基础上建立的惯性系，前文中已经提及，这一观念已经遭到马赫等人的质疑和批评，他们认为时空不是一种想象中的虚空存在，应当是与物质的存在和运动相关联的。实际上，现实世界中也根本不存在牛顿所说的惯性系，狭义相对论中以惯性系为背景的时空仍然是一种脱离物质世界的抽象存在。一个讨论物质世界的理论，是在一个非物质的虚构的坐标系中进行，总让人觉得不尽人意。
再来看引力理论遭遇的困难。
牛顿的万有引力理论，预言了海王星的存在，取得了很大的成功。但是牛顿的引力理论在天体力学领域也遭遇了困难，比如不能解释水星近日点的进动问题。
从1850年开始，天文学家在观察离太阳最近的水星运动时，由于其他行星的扰动，发现水星椭圆轨道的近日点微微在向运动方向前移，即水星椭圆轨道的长轴发生缓缓的转动，每一百年转动的角度，按牛顿理论的计算和实际的观测会有（43.11″±0.45″）微小角度的差别。这个角度大约相当于1毫米高的物体在4000米远处的张角。虽然这个张角很小很小，但用牛顿理论却无法解释。这个小小的百年转动只有43″的差别，像是牛顿环中间黑斑，用牛顿理论无法消除。
在万有引力定律公式中，相互作用是“同时”发生在m1和m2上的。这里的“同时”应当如何理解？
在狭义相对论中，由于光速不变，“同时”是相对的，分别作用在m1和m2的引力可以看作是两个事件，它们是否同时，完全取决于在那个参考系中进行观测，如果m1和m2处于同一个惯性系中，同时是确定的，是可以理解的；但若在不同的惯性系中，两者就没有统一的时间标准，“同时发生的相互作用”这句话里的“同时”，就含糊不清，难以准确理解。
到1907年，爱因斯坦意识到狭义相对论可以解释所有力学和电磁学现象，但不能说明惯性质量与引力质量相等这一令人称奇的实验事实，也不能对引力作出合理的阐述。
爱因斯坦非常善于从一般人看来再不成问题的地方发现事情的本质，善于做开创性的工作，“找木板最厚的地方去钻孔”。他对以上两个问题，提出了自己的看法与做法。
对于参考系，他认为一切参考系都是平等的，惯性系不应当享有“特权”。他要把只适用于惯性系的狭义相对论加以推广，建立一个适合于非惯性参考系的理论，把狭义相对论中的相对性原理或曰协变性，推广到非惯性系，建立广义的相对性原理。
对于引力问题，他采纳了奥地利物理学家马赫的观点。马赫早就认为，要解决引力问题，必须从非惯性系入手。因此，他从非惯性系入手，建立了一个包括引力在内的升级版的理论，妥善解决了引力问题。
形象一点说，为了解决这两个问题，他是找到了两把钥匙，一个支点。
二、找到了第一把钥匙
爱因斯坦找到了为理论升级的第一把钥匙是惯性质量与引力质量相等。
质量是物质存在的最基本的属性之一。随着物理学的发展，人们对质量的认识也在逐步深入。在经典力学中，人们是从物理学的规律中来认识、定义质量的。
牛顿理论中，质量被定义为“物体惯性的量度”，惯性大小决定了物体质量的多少，质量就称作惯性质量；在万有引力定律中，质量被定义为产生引力场和接受引力场作用的强弱的量度，质量就称作引力质量。这两个质量都是在不同的实验事实上进行定义的，是量度物体的惯性大小、引力强弱两种不同属性的两个量，这显然是本质上不同的两个物理量。
我们可以用物理学的已有的规律来寻找这两个质量之间的联系。
在真空中自由下落物体的加速度为g，按牛二定律，F = mig（mi是惯性质量）；而该物在地球表面受到的引力
（G是万有引力常量，ME是地球的质量，RE是地球的半径，mg是引力质量），从上面两式可以得到
我们知道g是一个常量，因此这两种质量之比总是一个不变的量，而与什么样的物体无关。
在中学物理实验中，一根羽毛与一枚硬币在一根真空管中是同时下落的。据说伽利略曾把两个半径相同质量不同的球带到比萨斜塔上（尽管许多严肃的物理学史否认这个实验的真实性，但实验的结果是成立的）同时将它们抛下，它们几乎是同时到达地面，产生微小的差别是由于空气阻力对两球微小差异而引起的。在月球上的宇航员同时丢下的榔头和鹰羽毛，也同时落到了月球表面。
一个物体的mg决定了它在引力场中受到的引力大小，这个引力作用在这个物体上，由该物的mi确定它在这个力的作用下，运动状态发生多大的变化，即确定运动的加速度。如果在同一个引力场中，在同一个地点，假如一个物体的惯性质量大，而引力质量小，则它在空间下落时加速度就一定会比g小；同理，假如一个物体的惯性质量小，而引力质量大，则它在空间下落的加速度就一定会比g大。
实验证明，在地面上（或在月球上），同一个地点，不同物体的加速度都一样，那只能是决定这些物体运动的两种质量的比值（mi/mg）是一个不变的量，与这些物体之间的其他差别无关，是任何物体普遍都具有的一种属性。这揭示了引力与惯性之间有一种稳定不变的相关性，这是大自然给出的确定结果。
近代许多高精度的实验都证实，在同一个地点一切物体下落的加速度都相同，从而证明惯性质量与引力质量之比，与物体的大小、种类等性质都无关，对一切物体都相同。
历史上第一个明确地检测这两个量的等同性是牛顿。他做了两个同形状等摆长的的单摆，一个摆是金的，另一个摆选用等重的银、铅、琉璃、沙子等不同的材料制成。单摆的周期为T = 2π（（mi/mg）L/g）1/2，从这个式子可以看出，只有引力质量与惯性质量之比与选用的材料无关，两摆的周期才会相同，牛顿做了许多实验，没有观察到周期的差异。实验的结论是引力质量与惯性质量相等，与构成物体的物质材料无关，其精度可超过千分之一。
检验这种等同性最著名的实验是匈牙利物理学家厄阜做的。从1890年起持续做了25年的实验，实验中他以铂为基准比较8种不同的材料，都没有发现两个量之间有什么偏差，精度可到亿分之一。在60年代，有人又改进了厄阜的实验，精度提高到千亿分之一，都没有发现二者之间有什么偏差。
总之，这些实验均表明，引力质量与惯性质量相等，是一个通过严密观测而确定的事实，爱因斯坦把它解释为物体同一属性在两个方面的体现。他在1916年出版的《狭义与广义相对论浅说》中写道：“这个重要的定律过去确实已经记载在力学中，但是并没有得到解释。我们唯有承认这个事实才能得到解释，这个事实就是物体的同一个性质按照不同的处所或表现为‘惯性’，或表现为‘重量’。”
经过300多年来理论探讨与实验证明，表明惯性质量与引力质量之比是一个常数，在厘米、克、秒制中，这个常数精确地等于1。这一实验事实虽然在爱因斯坦之前早就有人发现，但几百年来，人们把这个结论只当作是一个基本的事实接受，并不觉得会蕴藏着什么玄机而值得去探讨。爱因斯坦从引力场中一切物体都有相同的加速度，第一个看到了引力与惯性力的联系，看到了一个引力场与一个非惯性系中惯性力场（或称加速场）可以等效。
这里提到了“非惯性系”与“惯性力”两个概念，有必要作一说明。
在前面提到的惯性系，是静止或做匀速运动的坐标系。非惯性是有加速运动的一个参考系。在这个参考系内，每一点都会有加速度，因此形成了一个加速场。如果这个参考系的加速度为a，参考系中有一质量为m的研究对象，在分析m受力时，增加一个方向与系统加速度方向相反的一个力（记作-ma），就能像在惯性系中一样运用牛顿第二定律研究客体m的运动情况。这里（-ma）就称作惯性力。这样，这里的加速场也可以看作是一个惯性力场。
这一段阐述可用一个简单的例子予以说明。
一列车以加速度a向前行驶，在此列车内，就形成了一个加速场，车内小桌上有一质量为m的物体，就会有一个惯性力（-ma），研究该物的运动，只要把牛顿运动方程中该物受到的外力再加上惯性力，就可以像在惯性系中那样，求得该物的相对于列车的运动状况的解。
1933年，在《广义相对论来源》一文中，爱因斯坦写道：“在引力场中的一切物体都有相同的加速度，这条定律也可以表述为惯性质量与引力质量相等定律，它当时就使我认识到它的全部重要性。我为它的存在感到极惊奇，并猜想其中必定有一把可以更深入地了解惯性和引力的钥匙。”
三、发现了一个支点
有了这第一把钥匙，就开启了理论升级的第一道门，打开了这道门，爱因斯坦发现了引力与惯性力之间可以等效替代，也就是引力场与加速场（惯性力场）可以等效替代，为理论升级找到了一个重要支点。
1979年上海科技出版社出版的《物理学的进化》，是爱因斯坦与英费尔德合著的一本书，看来英费尔德与爱因斯坦是熟悉的。英费尔德回忆说：“爱因斯坦不只一次与我们谈过，他从15岁到16岁时起，就经常思索以下两个问题：一是如果有人跟着光线跑而企图抓住它，那么会发生什么呢？二是如果有人凑巧在一架自由落体的升降机里，那么会发生什么呢？”
第一个问题的深入思考，使爱因斯坦提出了光速不变原理，建立了狭义相对论；第二个问题的深入思考，使爱因斯坦提出了等效原理，建立了广义相对论。两个重大的理论，可以说，就是从爱因斯坦在少年时代对两个问题“稚气的思索”开始的。
还是爱因斯坦在伯尔尼专利局工作的时候，据说有一天，他在想，如果有一个实验室在地球上空自由下落，它的加速度当然也是g，是一个非惯性参考系。在这样的实验室中，实验员及实验室内所有的物体均失去了重量，这实际上是这个实验室内的物体受到了一个重力与惯性力达到了平衡，像是静止在这个实验室内，没有外力对它作用，运动状态将不会发生变化。这个实验室不仅是“消除”了引力场，而且还像是“创造”了一个惯性系。
爱因斯坦在《广义相对论的来源》一书中谈到：
“当我通过狭义相对论，得到了一切所谓的惯性系对于表示自然规律的等效性时，就自然地引起了这样的问题：‘坐标系有没有更进一步的等效性呢？’”
也就是说，借助于实验室内进行的实验，能否发现实验室本身的加速运动呢？
1907年他根据引力场中一切物体都具有相同的加速度这一事实，设计了一个理想实验，这就是著名的升降机理想实验。
设想离开了任何天体（包括地球在内）的一个理想实验室——一架大型升降机。这个实验室内没有引力场，室内的物体可以真正实现不受任何力的作用。开始时这个实验室处于静止或匀速直线运动状态，显然是一个满足牛顿第一定律的理想的惯性系，室内的物体没有重量，没有上、下之分，悬挂在弹簧上的物体不会拉伸弹簧，它们完全处于一种“自由”的状态而飘浮在空中；大物体、小物体无论放在什么地方，就在那里静止不动，处于所谓失重的状态，从手里松开的任何物体都不会下落，人在这里站着或躺着是没有什么区别的。
如果此实验室向上（对室外的某个观测者而言）做匀加速直线运动，加速度a = g（9.8米/秒2），这个实验室就是一个非惯性系。室内的物体都会受到一个惯性力，因为这个力的作用，物体都以加速度g向下落，实验室像是静止在地球表面那样，室内的物体都有了重量。室内有人把手里的一块石头撒手，石头落向地板的加速度是g，与地面上看到的落体情况是一样的；扔出一块石头，也可以看到与地面上一样的一条抛物线轨迹。
可以说，在这个实验室中，你无论做什么样的实验，都不能区分你是在地球的表面上，还是在一个远离所有的星体、以一个加速度为g穿过空间运动的实验室中。
如此看来，地球表面的静止惯性系中的引力场，可以等效于一个没有引力存在而向上做加速度为g的运动的非惯性系。这一想法可以推广到更一般的情况：惯性力可以等效于引力；惯性系中的一个引力场（地球表面）可以等效于一个非惯性系形成的加速场（离开任何天体，以加速度g运动的实验室）。
这就是爱因斯坦提出的一个基本原理——引力场与加速场的等效原理。
事实上，一个真正的引力场与加速场——人工制造的“引力场”之间显然是有差别的。
真正的引力场，场中的强度会随着与场源的距离的增大而减弱，并在距离很远的地方场强为零，而在人工模拟的加速场中，处处的“引力”是一样的；在地球表面的重力场中，物体受到的引力是指向地心，物体是向地心下落的，而在人工模拟“重力场”的升降机中，物体是垂直落向地板的。因此这里的等效有一定的局限性，只能是在小区域内——严格地讲只能是升降机的一个点上是正确的。因为地球的引力场并不是绝对均匀的，一个自由下落的球在不同的地点会有稍微不同的加速度，方向与大小都会有所不同。只有想象一个严格均匀的引力场，才能完全与一个具有恒定加速度系统等效。因此上述的升降机中，只能实现近似的等效。
但是，不管怎么说，这种局部、近似的等效，理论上就是可以在局部范围内，一个引力场，相当于一个非惯性系参考系，相当于一个惯性系中加一个引力场。这就为理论的升级发现了一个重要的支点。
这样非惯性系之间物理定律的时空坐标的协变，就变成了一个含有不同引力场的静止的惯性系之间时空协变，要解决的问题变得清晰、明朗了，但是，要完成这种协变，显然是一道难题。
四、又找到了一把钥匙
根据以上的分析，问题的关键是能够完成含有不同引力场的时空之间变换，并要实现物理定律坐标变换的不变性。为了能把这个问题解决的思路阐述清楚，让我们先对牛顿的万有引力定律表达式进行一些分析。
从万有引力的数学表述形式看与库仑定律相似，其实二者有很大的区别：一是库仑定律可以相互吸引，也可以相互排斥，而引力只有吸引，没有排斥；其二，引力是普遍的，万物都有，而电中性的物体没有库仑力。
那么，适合于库仑力的洛伦兹变换对于万有引力能适合吗？
爱因斯坦说：“……牛顿引力定律我们无论如何费尽心机也无法将其简化，用到狭义相对论的范畴中去。”我们在爱因斯坦文集第一卷中读到这样的文字，看到了他寻找这条“推广”之路的情景：
“在黑暗中焦急地探索的年代里，怀着热烈的期望，时而充满自信，时而精疲力竭，而最后终于看到了光明。”
爱因斯坦分析，在狭义相对论中，时空理论相比之于牛顿的时空观有了很大的突破，为了让相对论由狭义向广义推进，完成理论的升级，也许对于时空的认识还得有更大的突破，因此有必要在时空问题上再寻找出路。
有了这个想法，爱因斯坦找到了为理论升级的第二把钥匙。
他经过反复思考，获得了一个重大发现：在一个加速场（也等效于一个引力场），其空间是弯曲的，光不走直线，欧几里得几何学会失效，同样，时间在这个系统中的不同地点走时的速率也不一样。根据引力场与加速场的等效原理，引力场中空间也应当是弯曲的，时间的走率也会发生变化。因此只要找到弯曲时空之间的变换形式，原则上就能将相对性原理从惯性系推广到非惯性系，完成理论的升级，同时也就解决了引力问题。
最终，爱因斯坦发现引力场的唯一的效应就是场中的时空发生弯曲。关于这一点，下一篇文章要进行专门的讨论。这样，引力场的存在就等效于狭义相对论中的平直的四维时空将发生变形，变成弯曲四维时空，引力场可以用四维时空的弯曲来替代。由于引力场等效于时空的弯曲，这就把广义协变性的物理问题转化为四维时空的曲线坐标的变换的数学问题。只要在不同的弯曲的四维时空中，找到合适的时空变换形式，使物理定律的形式保持不变，就完成了理论的升级。
我想，如果惯性质量与引力质量不相等，引力场不能等效于一个加速场，引力场效应不是使得时空形变，也许升级的路还不知道要怎么走，理论的升级更为困难。那么，为什么引力不像库仑力那样，而是时空发生的变形，或者说物质之间的引力为什么完全可以用“时空的弯曲”来等效替代呢？
这大概也是大自然的造化，是上帝藏匿的又一把钥匙，爱因斯坦的慧眼发现了它，打开了理论升级的大门。
这个思路简洁的阐述是这样的的：
一个加速场（非惯性系）等效于一个惯性系中存在的引力场，而引力场的影响就是使时空发生了弯曲，或者说，引力场就是时空的弯曲。这样，不同的非惯性系之间的变换，就等同于在惯性系中不同的引力场之间的变换，也就等同于不同的弯曲时空之间的变换，找到这种变换，就完成了物理定律的表述形式在不同的非惯性系中保持不变，这就是广义相对性原理，当然，作为狭义相对论中的洛伦兹变换，应当可以作为这种新的变换形式的特例而包含进去。
五、如何升级
在狭义相对论中的相对性原理是这样的：若在一个惯性系中，用数学方程表述的物理定律，将方程中的时空坐标（x,y,z,t）按洛伦兹变换到另一个惯性系中，用新的时空坐标（x’y’z’t’）来表述该物理定律的数学方程时，其形式不变。
由于引力使时空发生了弯曲，时空的性质要用一个称作时空度规的物理量来描述。升级后的理论用非欧几里得几何（即黎曼几何）代替欧几里得几何，用曲线坐标（高斯坐标）代替平直坐标（笛卡尔坐标），把平直空间的张量运算推广到弯曲的黎曼空间的张量运算，线性的变换也将变成非线性的变换。通过这种复杂的数学变换就可以使得物理定律的形式的不变，建立广义相对性原理（亦称广义协变原理）。这里有繁冗的数学，已不适合在我写的文字里出现了。
无论是狭义相对论还广义相对论，两个理论都有相同的格局：都是着眼在时空变换中做文章，保证了物理定律表述的协变，只是参考系从“直”变“曲”进行了升级；前者指出了物理定律不会受到参考系速度的影响，后者指出了物理定律不会受到参考系加速度的影响。
广义相对论的出现是20世纪物理学又一次重大的进展，其中不但包含了新的引力理论，也为人们对宇宙结构的认识上开辟了一个新天地。
一千多年前的唐人王之涣，登蒲州鹳雀楼写下“欲穷千里目，更上一层楼”的名句。爱因斯坦经10年的努力，使他的理论“更上了一层楼”，大大地扩充了人类的视界，让人们知道了引力对时空产生了影响，宇宙的时空是弯曲的，光也只能沿着弯道行走，这些，都带给了人们无限的思索和遐想。
