大学生数学竞赛微分几何部分

第五届

设 $\Gamma$ 是三维欧式空间中一张平面上的一条抛物线， $l$ 是 $\Gamma$ 的准线。将 $\Gamma$ 绕其准线 $l$ 旋转一周，得到旋转面 $S$ 。求 $S$ 的两个主曲率的比值。

第六届

设三维空间的曲面 $S$ 满足
(1) $P_{0}=(0,0,-1) \in S$
(2)对任意 $P \in S, \quad|\vec{O P}| \leq 1$ ,其中 $O$ 是原点
证明：曲面 $S$ 在 $P_0$ 的 $Gauss$ 曲率 $K(P_0)\geq 1$

第七届

设 $\gamma(s),s\in[0,l]$ 是空间中的一条光滑闭曲线，以弧长为参数，且曲率 $k>0$ 。设 $\beta:[0,l]\rightarrow S^2$ 为单位球面上由 $\gamma(s)$ 的单位主法向量构成的一条简单闭曲线 $B$ 。证明： $B$ 将球面分成面积相等的两个部分。

第八届

设 $S$ 为三维欧式空间的一张连通光滑的正则曲面，过 $S$ 上每一点都存在不同的三条直线落在曲面 $S$ 上。
证明： $S$ 是平面的一部分

第九届

已知椭圆柱面 $S$ ：
$\mathbf{r}(u, v)=\{a \cos u, b \sin u, v\}, \quad-\pi \leqslant u \leqslant \pi, \quad-\infty<v<+\infty$
(1)求 $S$ 上任意测地线的方程；
(2)设 $a=b$ 取 $P=(a,0,0),Q=(a\cos u_0,a\sin u_0)(-\pi<u_0<\pi,-\infty<v_0<+\infty)$ 。写出 $S$ 上连接 $P,Q$ 两点的最短曲线的方程。

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