循环平稳过程

如果随机过程 $x(t)$ 的均值和自相关函数是以 $T$ 为周期的周期函数，则称其为循环平稳过程。对于循环平稳过程，平均自相关函数定义为一个周期上的平均：
$\overline{R_x(\tau)}=\frac{1}{T}\int_0^TR_x(t+\tau,t)dt$

循环平稳过程的平均功率谱密度定义为平均自相关函数的傅里叶变换。
$\mathcal{S}_x(f)=\mathcal{F}\left[\overline{R_x(\tau)}\right]$

数字基带信号的PSD

$\mathcal{S}_x(f)=\mathcal{F}\left[\overline{R_x(\tau)}\right] \\ aaa = bbb$

假设信号 $x(t)=\sum_n a_n g(t-nT_s)$ ，则其为循环随机平稳过程。假定随机序列 $a_n$ 是平稳过程。则有

$\begin{aligned} R_X(t+\tau,t)&=\mathbb{E}\left\{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}a_na_m^*g(t+\tau-nT_s)g^*(t-mT_s) \right\} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\mathbb{E}[a_na_m^*]g(t+\tau-nT_s)g^*(t-mT_s) \\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}R_a(n-m)g(t+\tau-nT_s)g^*(t-mT_s) \\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}R_a(n-m)g(t+\tau-(n-m)T_s-mT_s)g^*(t-mT_s) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}R_a(k)g(t+\tau-kT_s-mT_s)g^*(t-mT_s) \end{aligned}$

最后一个公式使用了变量代换 $k=n-m$ ，从而其平均自相关函数为：

\begin{align}

\overline{R_X(\tau)}&=\frac{1}{T_s}\int_0^{T_s}R_X(t+\tau,t)dt \

&=\frac{1}{T_s}\int_0^{T_s} \sum_{k=-\infty}^{{+\infty}\sum_{m=-\infty}}{+\infty}R_a(k)g(t+\tau-kT_s-mT_s)g^*(t-mT_s) dt \

&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{{+\infty}\sum_{m=-\infty}}{+\infty}\int_0^{{T_s}R_a(k)g(t+\tau-kT_s-mT_s)g}*(t-mT_s) dt \

&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{{+\infty}\sum_{m=-\infty}}{+\infty}\int_{-mT_s}^{{-(m-1)T_s}R_a(k)g(u+\tau-kT_s)g}*(u) du\

&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{{+\infty}\int_{-\infty}}{+\infty}R_a(k)g(u+\tau-kT_s)g^*(u) du \

&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} g_k(\tau-kT_s)

\end{align}

令 $g_k(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_a(k)g(u+\tau)g^*(u)du$ ，则上式的傅里叶变换为：

\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{{+\infty}G_n(f)e}{-j2\pi nfT_s}

则上式的傅里叶变换为：

\begin{align}

G'(f)&=\int_{-\infty}^{{+\infty}\overline{R_X(\tau)}e}{-j2\pi f\tau}d\tau \

&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{{+\infty}R_a(k)\int_{-\infty}}{+\infty}\int_{-\infty}^{{+\infty}g(u+\tau-kT_s)g}*(u)e^{-j2\pi f\tau}du d\tau \

&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{{+\infty}R_a(k)\int_{-\infty}}{+\infty}\int_{-\infty}^{{+\infty}g(u+\tau-kT_s)g}*(u)e^{j2\pi fu} e^{-j2\pi f(u+\tau-kT_s)} e^{-j2\pi fkT_s} du d\tau \

&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{{+\infty}R_a(k)e}{-j2\pi fkT_s}\int_{-\infty}^{{+\infty}\int_{-\infty}}{+\infty}g(u+\tau-kT_s)g^*(u)e{j2\pi fu} e^{-j2\pi f(u+\tau-kT_s)}du d\tau \

&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{{+\infty}R_a(k)e}{-j2\pi fkT_s}|G(f)|^2 \

&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{{+\infty}[R_a(k)-R_a(0)]e}{-j2\pi fkT_s}|G(f)|^2 + \frac{R_a(0)}{T_s}|G(f)|^{2\sum_{k=-\infty}}{+\infty}e^{-j2\pi fkT_s} \

&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{{+\infty}[R_a(k)-R_a(0)]e}{-j2\pi fkT_s}|G(f)|^2 + \frac{R_a(0)}{T_s}|G(f)|^{2\sum_{k=-\infty}}{+\infty}\delta(f+\frac{k}{T_s})

\end{align}

其中

\begin{align}

\overline{R_X(\tau)}&=\frac{1}{T_s}\int_0^{T_s}R_X(t+\tau,t)dt \

&=\frac{1}{T_s}\int_0^{T_s} \sum_{m=-\infty}^{{+\infty}\sum_{n=-\infty}}{+\infty}R_a(n-m)g(t+\tau-nT_s)g^*(t-mT_s) dt \

&=\frac{1}{T_s}\sum_{m=-\infty}^{{+\infty}\sum_{n=-\infty}}{+\infty}R_a(n-m)\int_0^{{T_s}g(t+\tau-nT_s)g}*(t-mT_s) dt \

&=\

&=\frac{\sigma_a^{2}{T_s}\sum_{m=-\infty}}{+\infty}\int_0^{{T_s}g(t+\tau-mT_s)g}(t-mT_s) dt+\frac{m_a^2}{T_s}\sum_{m \neq n}\int_0^{{T_s}g(t+\tau-nT_s)g}(t-mT_s) dt

\end{align}

上式可以拆成两部分，一部分为 $n=m$ 的情况，另一部分不等。相等部分可推得如下结果：

OQPSK的PSD

假设信号如下：

X(t)=I_n(t)\cos \omega_ct-Q_n(t)\sin\omega_ct

其中 $I_n(t)=\sum_n a_n g(t-nT_s),Q_n(t)=\sum_n b_n g(t-nT_s)$ 则其自相关函数如下：

\begin{align}

R_X(t+\tau,t)&=\mathbb{E}\left{[I_n(t+\tau)\cos \omega_c(t+\tau)-Q_n(t+\tau)\sin\omega_c(t+\tau)][I_n(t)\cos \omega_ct-Q_n(t)\sin\omega_ct]\right} \

&=\mathbb{E}\left{I_n(t+\tau)I_n(t)\cos\omega_c(t+\tau)\cos\omega_ct\right}-\mathbb{E}\left{I_n(t+\tau)Q_n(t)\cos\omega_c(t+\tau)\sin\omega_ct\right}\

&-\mathbb{E}\left{Q_n(t+\tau)I_n(t)\sin\omega_c(t+\tau)\cos\omega_ct\right}+

\mathbb{E}\left{Q_n(t+\tau)Q_n(t)\sin\omega_c(t+\tau)\sin\omega_ct\right}\

&=R_{II}(\tau)

\end{align}

基于自相关推导数字基带信号的功率谱密度

基于自相关推导数字基带信号的功率谱密度

循环平稳过程

数字基带信号的PSD

OQPSK的PSD

一个有用的结论