材料力学：第五章

第五章：应力状态分析

应力状态又称为一点处的应力状态，是指过一点不同方向面上应力的集合。
应力状态分析：利用平衡方法确定应力中的极大值和极小值。

一、一点应力状态的描述及其分类

应力状态分析方法：一个微元的空间应力状态或平面应力状态

  • 单向应力状态：切应力为0、正应力有且只有一个方向
  • 纯切应力状态：正应力为0、只有切应力

二、平面应力状态的分析

  1. 正负号规则

  2. 微元的局部平衡


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  3. 不同坐标系中应力状态的表达式

三、主应力，主方向与面内最大切应力

  1. 主平面、主应力与主方向
    主平面：切应力为0的方向面，方向角为\theta _p
    令\tau_{x'y'}=0，得\tan 2\theta _p=-\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x -\sigma_y}
    主平面上的正应力称为主应力，法线方向称为主方向
  2. 平面应力状态的三个主应力
    主应力

    三个主应力代数值由大到小顺序排列：\sigma_1>\sigma_2>\sigma_3
  3. 用主应力表示的应力状态
  4. 面内最大切应力
    令\frac{d\tau_{x'y'}}{d\theta}=0，得到\tan 2\theta _s=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\tau_{xy}}
    面内最大切应力

四、类比的应用——平面应力状态的应力圆

  1. 应力圆方程
    不同截面上的应力

    (𝜎_{𝑥^′} −\frac{𝜎_𝑥+𝜎_𝑦}{2})^2+𝜏_{𝑥^′ 𝑦^′}^2=[\frac{1}{2} \sqrt{(𝜎_𝑥−𝜎_𝑦 )^2+4𝜏_{𝑥𝑦}^2 )}]^2

  2. 应力圆的画法


    应力圆
  • 点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；
  • 点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；
  • 二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。
  1. 应力圆的应用

五、三向应力状态的特例分析

三向应力状态的特例：有一个主平面及其上的主应力为已知的。

  1. 三组特殊的应力圆
    三向应力状态

    平行于主应力\sigma_1、\sigma_2、\sigma_3方向的三个方向面。
  2. 三向应力状态的应力圆
    三向应力状态中任意方向面上的应力对应着上述三个应力圆之间所围区域中某一点的坐标值。
  3. 一点处的最大切应力
    最大切应力

    其中\tau_{max}=\tau'''=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}
    最大切应力

六、一般应力状态下各向同性材料的应力-应变关系

  1. 广义胡克定律
    \varepsilon_1=\frac{1}{E}[\sigma_1-\nu(\sigma_2+\sigma_3)]，\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G}
    \varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3=\frac{1-2\nu}{E}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)=\frac{3(1-2\nu)}{E}\bar\sigma
    对于平面应力状态（\sigma_z=0）：
    \varepsilon_x=\frac{1}{E}(\sigma_x-\nu\sigma_y)，\varepsilon_y=\frac{1}{E}(\sigma_y-\nu\sigma_x)，\varepsilon_z=-\frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y)
    有应变不一定有应力，有应力不一定有应变。
  2. 各弹性常数之间的关系
    G=\frac{E}{2(1+\nu)}
    轴向应力\sigma_m和环向应力\sigma_t。

七、一般应力状态下的应变能密度

  1. 总应变能密度
    （弹性）应变能：dV_\varepsilon，应变能密度：\frac{dV_\varepsilon}{dV}
    \nu_\varepsilon=dV_\varepsilon=dW=\frac{1}{2}(\sigma_1\varepsilon_1+\sigma_2\varepsilon_2+\sigma_3\varepsilon_3)dV
  2. 体积改变能密度与畸变能密度
    应力状态分解

    \nu_\varepsilon=\nu_V+\nu_d
    体积改变能密度\nu_V=\frac{1-2\nu}{6E}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)^2
    畸变能密度\nu_d=\frac{1+\nu}{6E}[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]
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