一、动力系统理论
动力系统理论（动力学）关注的是对系统的描述和预测，其所关注的系统通过许多相互作用的组分的集体行为涌现出宏观层面的复杂变化。
动力一词意味着变化。
动力系统则是以某种方式随时间变化的系统。
动力系统的例子：太阳系、心脏、大脑、股票市场、世界人口、全球气候等能想到的系统几乎都是动力系统。
动力系统理论以最一般化的方式描述系统的变化，描述变化可能的宏观形态，以及对于其变化能够做出怎样的估计和预测。
二、动力系统理论的起源
亚里士多德是目前所知的最早论述运动理论的人之一。
哥白尼、开普勒、伽利略是实验和观察科学的先驱。伽利略之后，有实验观察作为基础，科学革命的发展不可避免。
牛顿，动力学历史上最重要的人物，开创了经典力学，描绘了一幅“钟表宇宙”的图景。
力学两部分：
运动学——描述物体如何运动；动力学———解释物体为何遵循运动学定律。
三、对预测的重新认识
1927年海森堡量子力学“测不准原理”。
混沌的发现。
混沌指的是一些系统——混沌系统——对于其初始位置和动量的测量如果有及微小的不精确，也会导致对其的长期预测产生巨大的误差。也就是常说的“对初始条件的敏感依赖性”。例如：心脏紊乱、湍流、电路、水滴、天气等。
19世纪末法国数学家庞加莱是现代动力系统理论的奠基者，也可能是贡献最大的人，大力推动了牛顿力学的发展。研究三体问题创建了代数拓扑。
庞加莱发现了对初始条件的敏感依赖性——即便我们完全知道了运动定律，两组不同的初始条件，即使差别很小，有时候也会导致系统随后的运动极为不同。
1963年气象学家洛伦兹发现气象模型也会有对初始条件的敏感依赖性。
四、线性和非线性
混沌系统中初始的不确定被急剧放大的关键因素是非线性。
线性系统——整体等于部分之和，就像面粉和糖混在一起；
非线性系统——整体不等于部分之和，就像醋和苏打粉混在一起。
五、逻辑斯蒂映射
动力系统理论和混沌研究中最著名的方程。它能抓住混沌的本质——对初始条件的敏感依赖性——的最简单的系统之一。
表面上的随机可以来自非常简单的确定性系统。
六、混沌的共性
1.通往混沌的倍周期之路。在动力系统理论中国，突然的周期倍增被称为分叉。不断分叉直至混沌的过程就是“通往混沌的倍周期之路”。
2.费根鲍姆常数——4.6692016具有普适性——对所有单峰映射都成立。
卡达诺夫：一个科学家所能遇到的最好的事情，头脑中想到的东西在自然界中得到了完美印证。
七、混沌思想带来的革命
1.看似混沌的行为有可能来自确定性系统，无须外部的随机源。
2.一些简单的确定性系统的长期变化，由于对初始条件的敏感依赖性，即使在原则上也无法预测。
3.虽然混沌系统的具体变化无法预测，在大量混沌系统的普适共性中却有一些“混沌中的秩序”，因此虽然在细节上“预测变得不可能”，但在更高的层面上混沌系数却是可以预测的。
逻辑斯蒂映射是种群数量增长的简化模型，但是对其以及类似模型的详细研究却带来了对秩序、随机和可预测性的重新认识。这证明了理想模型的力量——这些模型很简单，用数学或计算机就足以进行研究，但是又抓住了自然界复杂系统的本质。
细节看不清时，学会升维，在更高的层次去看问题。
人们将对世界的认识简化为模型。
真理往往是简单的。
