【抽象代数】代数系统、群与商群

一、代数系统

1.1 运算律

我们已经知道函数的概念，它表示集合间的一种映射关系。当像和原像是同一集合时，便是抽象代数中常讨论的函数了。一元函数 f: A↦A 也被称为集合 A 上的变换，其中双射的变换也称为置换。一般如下式的多元函数，也被称为集合A上的 n 元运算。集合 S 以及其上的一些运算 $f_1,f_2,⋯,f_m$ 组成的系统叫代数系统（algebraic system），在不混淆的情况下也可用 S 表示这个代数系统。代数系统可以让我们抛开具体运算对象，而只关注于它们共有的结构和性质。 $f:A\times A\times\cdots\times A\mapsto A\tag{1}$
二元运算是最常见的运算，比如各种对象（数、向量、多项式等）上的加减乘运算，以及变换的复合运算。这里就主要研究二元运算下的代数系统，参照的例子主要是来自数论和置换变换。对于这个二元代数系统，
我们用特定的符号a∘b来表示要研究的二元运算 f(a,b)，有时也简写为 ab，并且说成是“乘法”，注意这里的乘法代表一种抽象的运算，即只要是有一种代数运算满足结合律就行，这个代数系统简单记为 ⟨ S, ∘ ⟩ 。如果还有另一个系统 ⟨ G,⋆ ⟩，我们怎么去判断它与上一个代数系统是否有关系呢。因为对抽象代数而言，其运算律的重要性。故我们只要求在两个代数系统之间在一个一一映射下保持其运算律就行。即它们之间有一一映射 f: S ↦ G，并且满足下式，则这两个系统称为同构的（isomorphic），记作 S≅G。显然同构是个等价概念，同构的代数系统可以看作是完全一样的，本质上可以不加区分。
$f(a\circ b)=f(a)\star f(b)\tag{2}$

从运算的外在形式上看，有两种比较重要的性质是需要研究的，一个就是运算的复合，另一个就是变量的位置互换。它们分别对应着结合律与交换律。运算的复合是指变量本身又是另一个运算的结果，比如 $(a∘b)∘(c∘d)$ 。结合律本质上是说运算只与被操作数的序列有关，而与运算顺序无关。直观地讲，一串运算，无论如何添加括号限制运算顺序，结果都是一样的。满足结合律的代数系统称为半群，但是半群的性质过于简单，还不能构成一个自成体系且有太多用处的代数结构，还需要添加一些性质或公理限制约束才行。 $(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\tag{3}$

对于很多运算，运算结果是依赖于变量的顺序的，a ∘ b 与 b ∘ a 不一定相等，比如置换和矩阵乘法。反之，如下条件被称为运算的交换律。我们已经看到，交换律在很多场合是不满足的，由此一般也不假定它成立。交换律使得变量顺序不再重要，它和结合律共同作用的结果就是，运算结果仅与变量有关，它们的顺序可以随意安排。
$a\circ b=b\circ a\tag{4}$

1.2 单位元和逆元

前面讨论的是运算本身的外在形式特点，它们还构成不了十分有趣的代数系统，现在需要对系统的结构作进一步的限制或公理化描述。正如前面描述的代数结构，即一个抽象集合和代数运算。而我们通过函数或映射的观点来看的代数运算。故一个最为基本的映射就是集合之上的恒等映射。而从运算的角度来看就是我们的单位元。即任何一个元素与它复合作用都是该元素本身。如果我们想我们的代数系统可以更加完善和灵活就必须要求有它。这是通过公理化的约束条件赋予给代数系统的。但上面也谈到了对于一个代数系统来说不一定具有交换律。故就存在着左单位元与右单位元。我们可以有 $e_l=e_r=e_l∘e_r$ ，它们是相等的！这种情况则统称为单位元（identity）（显然唯一），而含有单位元的半群叫幺半群。
$e_l\circ a=a,\quad a\circ e_r=a\tag{5}$

单位元实现了我们一个朴素的目标：任何元素都可以成为运算结果。现在我们还有一个很普遍的要求，就是式（6）的某个一元一次方程总有解。你得承认这也是个不过分的要求，因为一次方程都没有解的话，这个系统是很难玩得转的。如果要求 $ax=b$ 有解，比较直观的方法是要求两边可以“除以”a，或“乘以”a的逆 $a^{−1}_l$ ，得到 $x=a^{−1}_lb$ 。换句话说就是要求存在逆，分别使得式（7）成立。满足条件的逆分别称为左逆元和右逆元。
$a\circ x=b,\quad y\circ a=b\tag{6}$
$a_l^{-1}\circ a=e,\quad a\circ a_r^{-1}=e\tag{7}$

如果左（右）逆元同时存在，则 $a_l^{-1}=a_l^{-1}\circ(a\circ a_r^{-1})=(a_l^{-1}\circ a)\circ a_r^{-1}=a_r^{-1}$ ，它们是又是相等的，这时统称为逆元（inverse）（显然唯一）。根据式（8）可知a同时也是 $a^{−1}$ 的逆元，并且它们的运算是可以交换的。比较容易证明逆元有式子（9）的性质。
$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e,\quad (a^{-1})^{-1}=a\tag{8}$
$(a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}\tag{9}$

逆元的存在使得“除法”成为可能，它让系统一下子立体起来。最典型的性质就是，当 $x$ 依次遍历群时， $a \in S, ax$ （或 $xa$ ）会遍历整个群，即相当于同时对群内的所有元素作了一个乘 a 的映射变换。如果作用后有任意两个新元素相同，即 $ax=ay$ ，那么两边乘以 $a^{−1}$ ，则有 $x=y$ 。这个性质又叫消去律，便会推出矛盾。如果把整个运算列成一张二维矩阵的表，行列都是集合 S 中的元素经过相同复合作用，则矩阵的每行和每列都包含整个群，且没有重复元素。这个性质非常重要，我们后面还会用到它，注意这里与后面要讲的陪集的概念是不同的，陪集作用的是子群，而不是群元素本身。

二、群

2.1 群和子群

存在逆元的幺半群叫群，于是我们的主角就这样登场了。总结一下，集齐结合律、单位元和逆元这三大基本性质的代数系统(集合 + 代数运算)就是群，这里我们也可以用另一种视角去看待它，即满足上述五条公理化要求的数学结构就称为群。一般用字母 $G, H, K$ 表示。而对于后面要介绍的代数系统，我们都可以用公理化的视角去看待。如果除此之外还满足交换律，它就叫交换群（commutative group）（或Abel群（Abelian group））。集合的元素个数 $|G|$ 称为群的阶（order），显然有有限群和无限群。有了上述性质，尤其是逆元的存在，群便有了非常有趣的结构，后面会慢慢展开介绍。

值得一提的是，单位元和逆元的条件其实是有些冗余的，在很多教材里只要求群满足结合律、存在左单位元和左逆元（或右单位元和右逆元）。现在我们来证它们和原定义的等价性，即已知对任意a，存在 $e_l\circ a=a,a_l^{-1}\circ a=e_l$ ，求证 $e_r,a_r^{-1}$ 的存在性。首先记 $a'=(a_l^{-1})_l^{-1}$ ，则有 $a\circ a_l^{-1}=(a'\circ a_l^{-1})\circ(a\circ a_l^{-1})=e_l$ ，从而 $a\circ e_l=a\circ(a_l^{-1}\circ a)=e_l\circ a=a$ 。这样 $e_l$ 同时还是右单位元，由前面的讨论知它就是单位元e。那么再由刚才的 $a\circ a_l^{-1}=e_l=e$ 可知 $a^{−1}_l$ 还是右逆元，故有逆元 $a^{−1}$ 。

还有一点需要注意，方程（6）有解和消去律与逆之间是否有等价关系？其实是不一定的，在某些情况还是等价的，大家可以尝试着思考如下两个问题。
　　• 满足方程（6）都有解的半群是群；（提示：证明单位元和逆存在）
　　• 同时满足左右消去律的有限半群是群。（提示：利用上题结论）

群的例子非常普遍，比较显然的有任何数系的加法、正数的乘法、矩阵的加法和乘法。再比如上面提到的变换，以及我们在《初等数论》中看到的即约剩余系的乘法，都容易证明它们是群。还有一些著名的群，它们元素个数很少，但结构却不简单，应用也很广泛。比如著名的四元数群 $\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ ，它满足下表的运算律，它们就是四元数的单位元，是比复数更一般的数系。

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

还有就是以下 $Klein$ 四元群 $K4=\{1,i,j,k\}$ ，本篇提交的所有群都是后续讨论中的典型例子，你可以先品味一下它们的特点，并带入后续的讨论中。

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	1	k	j
j	j	k	1	i
k	k	j	i	1

在给定了群的公理化定义之后，下面的任务就是要研究它的结构，从而能得到有用的性质。结构分析最常用的方法当然就是分解，将大的复杂对象分解为一个个简单的小对象，结构自然就清楚了。同样道理，我们也希望将群拆解为结构更简单的小群，这个目标将贯穿整个群论。我们自然先给这个“小群”下个定义，它首先必然是群的子集，并且在同样的运算下能独立成群，这样的子集被称为子群（subgroup）。

若H是G的子群，一般记作 $H⩽G$ ，显然 ${e}$ 和 G 都是 G 的子群，它们也叫平凡子群。如果 $H≠G$ ，H叫做G的真子群（proper subgroup），记作H<G。由于子群完全继承了父群运算，因此必定满足结合律，并且单位元和逆元不变。唯一的要求就是要子群不残缺，该有的元素（单位元和逆元）都要有，运算在子群中还要封闭。现在我们要把这几个条件写成表达式，才能给出子群的严格定义。对于G的一个非空子集 H，如果满足式子（10）中的条件，它就是 G 的子群。另外容易证明，这三个条件其实和式子（11）的条件是等价的，它一般被用作子群的判定条件。
$H\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad e\in H\:\wedge\:(\forall a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H)\:\wedge\:(\forall a,b\in H\Rightarrow ab\in H)\tag{10}$
$H\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad\forall a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H\tag{11}$

如果子集 M 不满足子群的条件怎么办？你当然可以把需要的元素一个个补齐，最终满足条件的子群就叫的生成子群，记作 ⟨M⟩。当然，你可以给出生成子群的精确定义：包含集合 M 的最小子群，也称由集合 M 诱导的生成子群。只有一个元素 a 生成的子群又叫循环群 ⟨a⟩（cyclic group），a 叫做它的生成元（generator）。显然整数加群、有原根的即约剩余系都是循环群，并且循环群显然是交换群。

2.2 循环群

虽然定义了子群，但分解群的任务还很重，这里我们暂且休息一下，从最简单的循环群研究起。循环群是一类被完全解决了的群。也就是说这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下它由多少个和它们子群的状况都研究清楚了的群。一个循环群中无非是这样的元素： $\cdots,a^{-1}a^{-1},a^{-1},e,a,aa,\cdots$ 。类似数系中的幂运算，我们可以引入指数记号 $a^n$ 表示循环群中的每一个元素，你可以证明它完全满足指数的常规性质（公式（12）（13））。
$a^0=e,\quad a^n=a^{n-1}a,\quad a^{-n}=(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}\tag{12}$
$a^{m+n}=a^ma^n,\quad a^{mn}=(a^m)^n\tag{13}$

在任何群中，如果有最小 $n>0$ 的使得 $a^n=e$ ，那么称n为a的阶（order），记作 |a|。如果不存在这样的 n，则称 a 的阶为无穷大，也记作 |a|。阶的性质和我们之前介绍的在《初等数论》中讨论的指数的性质完全一样。

在循环群 ⟨a⟩ 中，如果 $|a|=n$ ，则显然它和有原根的既约剩余系同构： $a,a^2,\cdots,a^n$ ，并且有 $φ(n)$ 个生成元。当 a 的阶为无穷大时，它和整数加法群同构： $\cdots,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\cdots$ ，其中只有 $a,a^{-1}$ 两个生成元。下面有一些阶和子群的思考题，难度不大，可供读者消遣思考一下：
　　　
　　• 有限子集 H 是子群的充要条件是：对任何 $a,b∈H$ ，总有 $ab∈H$ ；
　　• 求证： $|a|=|a^{-1}|=|cac^{-1}|$ ， $|ab|=|ba|$ ， $|abc|=|bca|=|cab|$ ；
　　• 求证：有限群中阶数大于2的元素有偶数个；
　　• 如果 $H<G$ ，求证 $⟨G−H⟩=G$ 。

2.3 置换群

说完了最简单的群，现在来看最“完整”的群。置换群是一类很重要的群，最早的群论就是从研究它开始的，利用它，伽罗瓦解决了代数方程是否可用根式求解问题，后面在伽罗瓦的工作基础之上慢慢发展到了今天代数学中专门的理论——即伽罗瓦理论。前面我们看到群 G 中的任何元素 a 使得 $aG$ 遍历整个群，因为复合运算是和函数和映射是等同的，故我们可以从 $aG$ 看出 a 是和 G 上的一个双射变换相对应。而容易证明，集合 G 上的所有双射变换 $S(G)$ 组成一个群，并且 G 是 S(G) 的子群。一般地，集合 M 上的所有双射变换组成的群S(M)，也可以看成集合 G 的排列是任何从G到G的双射函数；所有这种函数的集合形成了在函数复合下的一个群S(M)叫 M 上的对称群（symmetric group）。当 $|G|=n$ 时，又可记作 $S_n$ ，叫 n 次对称群。显然每个n 阶群都同构于 $S_n$ 的某个真子群，而阶为无穷的群也同构于 $S(G)$ 的某个真子群（凯莱定理）。即所有群 G 同构于在集合G上的对称群的子群。这可以被理解为G在集合G的元素上的群作用的一个例子。关于群在集合上的作用后面会讲到。凯莱定理通过把任何群（包括无限群比如(R,+)）都当作某个底层集合的排列群，把所有群都放在了同一个根基上。因此，对排列群成立的定理对于一般群也成立。

这样一来，我们就可以通过讨论对称群的子群来研究一般的群。对称群的子群叫置换群（permutation group）（因为元素是置换）， $S_n$ 的子群叫 n 次置换群，这里我们只讨论 n 次置换群。将集合中元素用 $1,2,\cdots,n$ 编号，每个置换 $σ(x)$ 可以表示为下式，改变列的顺序并不改变定义。
$\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}\tag{14}$

考察置换中的映射序列： $1,\sigma(1),\sigma(\sigma(1)),\cdots$ ，容易证明这个序列最终必定会回到 1，这就形成了一个环路。显然任何置换都是由几个不相交的环路组合而成的，有必要对它继续进行研究。每个环路其实也可以看成是一个置换，只不过环路之外的值映射到自身而已。如果环路上共有 k 个元素，这样的置换就称为 k-循环置换（或k-循环），特别地，2-循环也叫对换。循环置换可表示为下式，其中 $\sigma(a_k)=a_1,\sigma(a_i)=a_{i+1}$ 它的阶显然为 k。
$\sigma=(a_1a_2\cdots a_k)=(a_2a_3\cdots a_1)=\cdots=(a_ka_1\cdots a_{k-1})\tag{15}$

这样就可知，任何置换都可以唯一分解为几个不相交循环的乘积。另外，显然不相交循环的乘积是可交换的，故置换分解为循环后的顺序是可以任意的。另外也容易有下式成立，即循环可以分解为一系列对换的乘积（不可交换），故任一置换又可以分解为一系列对换的乘积。这个地方你需要弄清置换、对换的本质是映射，如下当右向左的复合映射。
$(a_1a_2\cdots a_k)=(a_1a_k)(a_1a_{k-1})\cdots(a_1a_2)\tag{16}$

至此就不能再分解了，我们不禁想问，如果一个置换有不同的分解为对换的方法，那它们的对换个数有什么关系吗？现在需要一个固定的值将它们联系起来，这个值只能从置换 $σ$ 本身下手。对于数对 $i<j$ ，如果 $σ(i)>σ(j)$ ，则称 $i, j$ 为一个反序。总反序数是固定的，定义有奇数个反序的置换为奇置换，否则叫偶置换。你可以证明，任何对换与置换相乘后都会改变它的奇偶性。而由上面的分解可知，任何置换都是由恒等变换与一系列对换相乘得来，这样不同分解的对换个数的奇偶性也就必然相等。

奇偶性是置换的一个符号性质，它们相乘后的奇偶性变化与正负符号是一样的。以某个奇置换为乘积的值，可以将偶置换与奇置换一一配对，这样它们就各占一半。另外容易看出，所有偶置换的运算是封闭的(因为必须包含单位元，即恒等映射。奇置换不含单位元不构成群)，故它们能组成一个群，这个群叫做 n 次交错群（alternating group），记作 $A_n$ 。如下有几个小思考题，仅供读者练习：

• 求证 $\sigma\tau{\sigma}^{-1}=\begin{pmatrix}\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\\\sigma(\tau(1))&\sigma(\tau(2))&\cdots&\sigma(\tau(n))\end{pmatrix}$ ；

• 求证 $\{(12),(13),\cdots(1n)\}$ 和 $\{(12),(12\cdots n)\}$ 都是Sn的生成系。

三、商群与直积

1. 陪集

现在我们继续研究群的分解，先来讨论一般子群之间、以及子群和父群的关系。首先我们便要讲陪集的概念。紧接着我们就能看到陪集就是用群内任意一个元素与原群的子集进行一个复合操作，左复合就是左陪集，反之为右陪集。

思路概览：

紧接着我们便要问：我们为什么要这样做？使用一个元素去对子群进行作用得到一个新的概念——陪集，这里仅给出我个人的观点，正如前面已经讲到的，群代表着某种对称性。当给我们一个抽象群需要研究它时，我们直观就能意识到抛去具体细节，从形式上看就知道它代表着某种对称性。于是我们在深入研究它的内部结构的时候，不禁想问这个群里面是不是还包含着另外一个小的对称性，即子群的概念。于是紧接着这个子群与大群是否可以建立某种联系，参考前面将大群分解小群的概念。我们是否可以构造出一种分解的概念，于是我们面临着一个直接的问题，我们知道群元素其底层就是一个集合，在对应到集合的划分之后，我们可以直观的理解是将一个大的原集合划分成若干个小集合。

<font color=red>问题来了，我们划分之后的小集合还是群吗？</font>，首先我们应该明确：当我们研究一个东西的时候常常是从具体实际出发到理论抽象建模，然而当我们提出一个理论的时候确实从抽象出发，在衍生到所有的具体场景。因为抽象的是约束最少的情况，具体的是通过添加限制约束的情况。抽象的适用面更广、更自由、更易于表达思想。回到正题，我们便会很容易的想到对应于划分之后的小集合都能构成群便是一种具体的情况，而不满足这个强约束的是一般。于是我们就可以理解我们这里要提出的陪集的概念(一般情况)和后面要提到的直积概念(具体情况) 了。而至于我们为什么要用子群与元素的作用来作为陪集的概念，首先我们肯定不能用待研究的抽象群，因为通过前面的学习，我们知道任意一个元素与一个群本身左右得到的还是它本身，对我们来说没有任何新的有意义的结果或信息。而针对子群来说就不一样了，我们可以想象使用一个元素去作用子群，与我们量子力学或原子物理学中使用一个粒去去碰撞另一个待研究的粒子是一样的。使用一个元素去作用一个子群我们便有了一个划分。因为我们知道如果这个元素属于这个子群，由于封闭性得到的元素必定还是在群内，反之不在群内。便达到了我们分解大群的目的，虽然有些不完全，但在这种抽象一般情景下也只能这样做。如果结构性质良好，就可以使用直积的概念来分解了。

下面，进入到正题。首先根据子群的判定条件，如果 $H,K⩽G$ ，则很容易有 $H∩K⩽G$ 。那么 $H∪K$ 呢?当然这里 H, K 都是真子群，并且不互相包含。对于子群交的情况我们可以较容易的证明，而对于子群并其实大多数情况下都是不成立的。在比如如果我们想划分之后的子集都构成子群，我们就会问一个问题？即 $HK$ 是不是 G 的子集？对 $h_1k_1,h_2k_2∈HK$ ，如果总有有 $(h_1k_1)(h_2k_2)=hk$ ，容易证明该条件和 $HK=KH$ 等价。所以就有下式结论。这样的分割需要子集满足一定条件，不符合我们现在的一般情况，需要另找方法。
$HK\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad HK=KH\tag{1}$

现在看来，我们必须放弃将父群分解为若干个子群的想法，而只能以某个子群 H 为参考或划分单位。我们还希望分成的每一块和子群一样大，最好元素与H也有一一对应的关系。由此我们想到了考察集合 $aH$ ，它表示 a 和 H 每个元素的乘积组成的集合，被称为 H 的左陪集（left coset），a 是左陪集的代表元。如果 $a∈H$ ，显然 $aH=H$ ，现在来研究 $a∉H$ 时， $aH$ 之间的关系。

对任意 $b∈aH$ ，存在 $b=ah,(h∈H)$ ，则 $bH=ahH=aH$ ，也就是说以 $aH$ 的中任何元素为代表元的左陪集都与 $aH$ 完全重合。换句话说，所有左陪集要么完全相等，要么没有交集，每个元素都被划分到了一个左陪集中，且都能作为该左陪集的代表元。另一方面，对 $b∈aH$ ，有 $a^{−1}b=h∈H$ ，容易证明 $a^{−1}b∈H$ 就是a,b同属于一个左陪集的充要条件，它是群元素之间的一个等价关系。如果用 $aH, bH, cH, ...$ 表示子群 H 在群 G 中的所有不同的左陪集，则有等式 $G=aH \cup bH \cup cH \cup ...$ 称其为群 G 关于子群 H 的左陪集分解。而称 $\{a, b, c, ...\}$ 为 G 关于 H 的一个左陪集代表系。同理右陪集。应注意 H 本身就是 G 的一个左陪集，但 G 的任何别的左陪集由于没有单位元，当然都不是 G 的子群。

同样可以定义右陪集 $Ha$ 的概念，并有着和左陪集一样的结论，只不过同属于一个右陪集的条件要改成 $ab^{−1}$ 。对于非交换群， $aH$ 与 $Ha$ 一般不相等，所以左右陪集的分割是完全不同的（H本身除外，它既是左陪集，又是右陪集）。但你也许并不甘心，它们之间一定有别的方法能联系起来。考虑到左右陪集只是左右颠倒的，你很自然就可以想到逆运算，对任何 $ah∈aH$ ，都有 $(ah)^{−1}=h^{−1}a^{−1}∈Ha^{−1}$ 。即 $aH$ 和 $Ha^{−1}$ 的元素是完全互逆的关系，这样左右陪集就找到了一一对应的关系。现在想来，左陪集 $aH$ 中元素的逆被分散到了其它左陪集中，但却神奇地集中到了右陪集 $Ha^{−1}$ 里。

考虑所有左陪集 $aH$ 组成的集合，它的阶被称为子集 $H$ 的指数（index），记为 $[G: H]$ ，那么显然有式（2）的拉格朗日定理成立。进一步地，如果 $K⩽H⩽G$ ，还容易有式（3）成立（注意对无穷的讨论）。并且可以直观地看出，K 的陪集其实就是在 H 陪集的基础上再以 K 为单位进行的划分。
$|G|=|H|[G:H]\tag{2}$
$[G:K]=[G:H][H:K]\tag{3}$

现在再来看 $H∩K$ 的陪集与 $H,K$ 陪集的关系，首先由刚才的结论知， $H∩K$ 的陪集正好是 $H, K$ 陪集的一个再次分割。从而 $aH∩bK$ 要么是空集，要么正好是某些 $H∩K$ 的陪集。进一步地，如果 $c=aH∩bK$ ，则 $aH∩bK=cH∩cK=c(H∩K)$ ，即 $aH∩bK$ 最多只包含一个 $H∩K$ 的陪集。这样的话就容易有以下不等式。
$[G:H\cap K]\leqslant [G:H][G:K]\tag{4}$

最后来看子集 $HK$ ，它显然由一些 K 的左陪集组成。另外考虑 H 中 $H∩K$ 的 $m=\dfrac{|H|}{|H\cap K|}$ 个左陪集，考虑 $h1,h2∈H$ ，它们属于同一 $H∩K$ 左陪集的充要条件是 $h_1^{-1}h_2\in H\cap K$ 。而该条件显然等价于 $h_1^{-1}h_2\in K$ ，它又是 $h1,h2$ 属于同一 K 的左陪集充要条件，故 $HK$ 中 K 的左陪集的个数就是 m。以上结论可以总结为式（5），显然只有当 $H∩K=e$ 时，才有| $HK|=|H||K|$ 。应该注意虽有下面式子，但 $HK$ 仍然不一定是子群。
$|HK|=\dfrac{|H||K|}{|H\cap K|}\tag{5}$

2. 同态与商群

2.1 同态定理

现在群 G 被分成了 H 的陪集，H 当然有更细的划分方法，现在需要来研究它的陪集组成的集合。我们先不直接研究陪集，而是采用更一般性的方法。回顾陪集的定义，其实就是一个从群元素到陪集的映射，我们希望研究一般的代数系统之间的映射。考虑两个系统 $\langle S,\circ\rangle ,\langle \bar{S},\star\rangle$ 之间的映射 $f$ ，我们当然希望运算律是保持的，满足以下条件的映射被称为同态映射（homomorphism）。如果映射是满的，则称 $S,\bar{S}$ 同态，记作 $S\sim\bar{S}$ 。
$f(a\circ b)=f(a)\star f(b)\tag{6}$

我们重点要关注的当然是同态映射像和原像的关系，即同态系统之间的关系。如果 $G\sim\bar{G}$ ，其中 G为一个群，容易证明 $\bar{G}$ 满足群的所有条件（证明略），故 $\bar{G}$ 也是群。当然还可以得到更多结论，比如单位元映射到单位元、逆元映射到逆元，甚至子群映射到子群，这里就不赘述了。反过来思考同态映射，它的每个像都有可能不止一个原像，G按照像的不同被划分成了不同的等价类，这些等价类有什么性质？它和 $\bar{G}$ 又有什么关系？

显然那些等价类与同态像是一一对应的，如果能定义好运算，它们自然就是同构的，现在的任务就是寻找这些等价类有意义的运算。先定义 $\bar e$ 的原像 $f^{-1}(\bar{e})$ 为核（kernel），记作 $Ker\ f$ 。下面来看那些等价类是什么，对于 $\bar x∈\bar G$ ，考察 $X=f^{-1}(\bar{x})$ 。对任何 $a,b∈X$ ， $f(a^{-1}b)=(f(a))^{-1}f(b)=\bar{e}$ ，故 $a^{-1}b\in \text{Ker}\:f$ ，从而 $K=\text{Ker}\:f$ 是一个子群，且每个等价类是都是它的左陪集。你还可以发现，刚才的证明对右陪集同样成立，也就是说 $Ker f$ 的左右陪集是一样的！

既然陪集不分左右了，就可以为其定义 $aK⋅bK=(ab)K$ ，容易证明在该运算下，K 的陪集与 $\bar G$ 是同构的。我们需要专门研究像核这样的子群，即对子群 N，要求 $aN=Na$ 恒成立。为此定义满足下式的子群为正规子群（normal subset），记作 $N\trianglelefteq G$ ，如果 $N≠G$ ，也记作 $N\triangleleft G$ 。刚才的结论可以说成，同态映射的核是正规子群，那么反过来呢？其实容易证明，对任意正规子群N，映射 $f(a)=aN$ 就是同态的。故我们可以下结论：任何正规子群都与一个同态映射等价。
$\forall a\in G(aNa^{-1})\quad\Rightarrow\quad N\trianglelefteq G\tag{7}$

因为正规子群 N 的陪集与同态像一一对应，它们必然组成群，定义它为商群（quotient group），记作 $G/N$ ，从而有 $|G/N|=[G:N]$ 。刚才的结论用符号表示就是下式，它被称为同态基本定理。
$G\sim G/N\cong \bar{G}\tag{8}$

现在继续对正规子群作一些常规讨论。正规子群是 N 与 G 的关系，所以对任意 $N\leqslant H\leqslant G,N\trianglelefteq G$ ，总有 $N\trianglelefteq H$ ，但对 $H\trianglelefteq N\trianglelefteq G$ ，却不一定有 $H\trianglelefteq G$ 。交换群的子群显然都是正规子群。对非交换群 $G，{e}$ 和 G 显然都的正规子群，但如果除了这两个平凡正规子群外没有其它正规子群，那么 G 叫单群（single group）。反之如果其所有子群都是正规子群，它也叫哈密顿群。比较容易证明，两个正规子群的交和积也必然是正规子群（公式（8）），但正规子群与子群的交和积却只能是普通的子群。
$N,K\trianglelefteq G\quad\Rightarrow\quad N\cap K\trianglelefteq G,\quad NK\trianglelefteq G\tag{8}$

如下几个小小的关于正规子群的问题，仅供读者思考：
　　• $A_n$ 是 $S_n$ 的正规子群， $K_4$ 是 $S_4$ 的正规子群。如果已知 $n≠4$ 时， $A_n$ 都是单群，则 $S_n$ 的非平凡正规子群只有 $A_n$ ；
　　• $N,K\trianglelefteq G$ 且 $(|N|,|K|)=1$ ，若 $G/N,G/K$ 都是交换群，求证 $G$ 也是交换群；
　　• $N=⟨a⟩$ 是正规子群，则任何 $H⩽N$ 也是正规子群；

同态基本定理给出了一种分析群的结构的方法，将群拆分为正规子群和商群，这里介绍著名的群的同构定理。第一同构定理其实就是同态基本定理，第三同构定理以正规子群N为单位元，得到更大正规子群的结构。将G换成HN就得到第二同构定理。
　　（1）第一同构定理： $G/\text{Ker}\:f\cong f(G)$ ；
　　（2）第二同构定理： $N\trianglelefteq G,\:H\leqslant G\quad\Rightarrow\quad HN/N\cong H/(H\cap N)$ ；
　　（3）第三同构定理： $H,N\trianglelefteq G,\:N\subseteq H\quad\Rightarrow\quad G/H\cong (G/N)/(H/N)$ 。

2.2 自同构群

之前讲了对称群，它的组成元素是集合的一一映射，现在来看它在群上的一个特殊子群。我们考虑群的所有自同构变换组成的集合，很容易证明它们组成群，称为自同构群（automorphism），并记作为 $Aut\ G$ 。容易证明无限循环群的自同构群是 2 阶循环群，而 n 阶循环群的自同构群是 $φ(n)$ 阶群。如果你觉得自同构群不好构造，那你可以试试同构映射 $\sigma_a(x)\to axa^{-1}$ ，所有这样的映射构成内自同构群，记作 $Inn\ G$ 。显然正规子群在内自同构下保持不变，因此它也叫不变子群。另外容易证明，内自同构群是自同构群的正规子群（公式（9））。
$\text{Inn}\:G\trianglelefteq\text{Aut}\:G\tag{9}$

现在考虑从 $G$ 到 $Inn\ G$ 映射，它显然是同态映射，映射的核是所有使 $axa^{-1}=x$ 恒成立的a（内自同构的单位元是恒等变换）。为此我们定义与所有元素可交换的元素为中心元素，它们组成的子群叫中心（center），记作C(G)或C，中心仅有{e}的群叫无中心群。这样一来，使用同构定理就有下式成立。
$\text{Inn}\:G\cong G/C\tag{10}$

而对于一般自同构群的研究则没有什么显著成果，它和原群之间并无特别的关系，这里只作简单讨论。若自同构群 $Aut\ G$ 有中心，取一个非恒等自同构变换 $\tau(a)=b\neq a$ 和内自同构 $σ_a$ ，从而有 $\tau\sigma_a=\sigma_a\tau$ ，进而你可以证明 $a^{-1}b$ 是 G 的中心。从而如果 $Aut\ G$ 有中心，则 G也有中心。反之如果 G 没有中心，则 $Aut G$ 也没有中心。考虑以下问题：

• 证明 $S_n$ 和 $Aut\ S_n$ 都是无中心群；
　　• 证明 n 阶循环群的自同构群是循环群的充要条件是 $n=2,4,p^e,2p^e$ ，其中p为奇素数。

2.3 可解群

商群可以将群分为两个层次的“群”，即群本身和它的子群，这样的分割可以一直继续下去，如果有限步后子群为 $1=\{e\}$ （公式（11）），这样的序列被称为正规群列，其中的商群称为因子群。正规群列本质上是讲群分成了若干个因子群，如果不做其它要求，这个群列一定是存在的。但有时希望因子群有更好的性质，以便研究群的结构，为此若群G某个正规群列的因子群可交换，我们称G为可解群。所有交换群显然是可解群，而对非交换群，我们需要研究其可解的条件。
$G=G_0\triangleright G_1\triangleright\cdots \triangleright G_n=1\tag{11}$

现在来看看 G 的因子群 $G/N$ 可交换时，正规子群 N 应该满足什么条件。 $G/N$ 可交换就是说，对任何 $a,b∈G$ 有 $aN∘bN=bN∘aN$ ，由 N 正规容易有 $a^{-1}b^{-1}abN=N$ ，从而 $a^{-1}b^{-1}ab\in N$ 。记 $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$ ，它被称为a,b的换位子。以上结论说明 $G/N$ 可交换的充要条件是，N 包含了所有的换位子。反过来，考察所有换位子的生成子群 $D(G)$ ，容易验证它的每个元素其实是有限个换位子之积，并且它还是正规子群，这个群被称为换位子群。这样 $G/N$ 可交换的充要条件便是 $D(G)⊆N$ ，而 $D(G)$ 则是满足条件的最小正规子群。

换位子群可以继续生成它的换位子群 $D^2(G)$ ，如果这样的序列有限，它被称为换位群列。存在换位群列的群显然是可解群，反之可解群的任意正规群列必然满足 $D^k(G)\subseteq G_k$ 换位群列存在，这就是说群可解与它存在换位群列是等价的。根据这个结论，分别考察 G 子群的换位子群，以及 $D(G)$ 在 $G/N$ 上的同态像，容易证明可解群的所有子群和商群也是可解群。

有限群上有时更关注另一种正规群列，它的每个因子群都是最基础的单群，这样的群列叫合成群列，显然有限群总存在合成群列。根据单群的特点容易知道，有限单群要么是素数阶循环群（交换），要么是不可解群（非交换）。这样的话可解的单群就只能是素数阶循环群，又因为可解群的商群和子群也是可解群，所以可解群的合成群列的因子群都是素数阶循环群。该命题的逆命题显然也成立，故对于有限群而言，它是可解群的充要条件是：合成群列的因子群为素数阶循环群。

可解群是伽罗瓦分析多项式求根时提出的，它对于解析有限群的结构也非常重要，后面我们会看到它的具体应用。多项式求根中需要讨论 $S_n,A_n$ 的可解性，当 $n<5$ 时有正规群列（12），故 $S_n,A_n,(n<5)$ 时都是可解群。当 $n⩾5$ 时，首先 $S_n$ 中显然包含所有3-循环，取 $a=(i,l,j),b=(j,k,m)$ ，容易验证 $[a,b]=(i,j,k)$ 。这就是说任何3-循环都还在换位子群中，不存在 $D_k(S_n)=1$ ，所以 $S_n$ 不是可解群，从而 $A_n$ 也不是可解群。关于此有疑问的同学，可以参见《代数学引论》（2nd)，聂灵绍，2009。第 66 页定理 9 有详细的证明过程。
$S_2\triangleright 1,\quad S_3\triangleright A_3\triangleright 1,\quad S_4\triangleright A_4\triangleright K_4 \triangleright 1\tag{12}$

3. 直积

正规子群可以将群分解成两个群，但这两个群不在同一个层次，似乎也不是真正意义上的“分解”。我们理想的分解应当是：各部分互相独立且顺序无关的，就好比被划分到了不同的维度。为此我们先来构造一类满足条件的群，对群 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ ，考察如下集合 G。在 G 上定义乘法 $(a_1,\cdots,a_n)(b_1,\cdots,b_n)=(a_1b_1,\cdots,a_nb_n)$ ，容易证明在这个乘法下，G 是一个群。容易验证当 $e_i$ 是 $A_i$ 的单位元时， $(e_1, e_2, ... , e_n)$ 是直积的单位元，而 $(a_1^{-1},a_2^{-1}, ... , a_n^{-1})$ 是 $(a_1,a_2, ... , a_n)$ 的逆元。如果把子集 $\{(e_1,\cdots,x_k,\cdots,e_n)\}$ 记做 $G_k$ ，显然 $G_k$ 是与 $A_k$ 同构的群。存在着同构映射 $x_k \rightarrow G_k$ 。易知，直积是交换群（有限群）当且仅当每个直积因子都是交换群（有限群）.而且当每个 $A_k$ 都是有限群时，有 $|A_1 \times A_2 \times ... \times A_n| = |A_1| · |A_2| · ... |A_n|$
$G=A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)\}\tag{13}$

对于以上 G 的分解 $G_k$ 显然满足我们的需求：（1） $G_k$ 都是正规子群；（2） $G=G_1G_2\cdots G_n$ ；（3） $G_1\cdots G_{k-1}\cap G_k=\{e\}$ 。更本质的它满足我们对独立分解的要求：各部分独立且顺序无关，用数学语言描述就是以下等价条件。满足以上定义或以下等价条件的分解被称为 G 的直积（direct product）,每个 $G_i$ 被称为直积因子，不混淆的情况下也写作 $G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n$ 。

（1） $g=g_1g_2\cdots g_n$ 的分解式存在且唯一，其中 $g\in G,g_k\in G_k$ ；
（2） $G_i,G_j$ 中的元素相乘可交换，即 $g_ig_j=g_jg_i$ 恒成立。

直积分解将群分解为完全独立几个子群，这就方便了进一步研究，可以进行直积分解的群一般称为可分解群，如果分解的子群都是单群，它又叫完全可分解群。我们有两个基本问题：什么样的群可分解？正规子群是否都可以作为分解因子？第一个问题的回答并不容易，我们目前只能对一些简单的情景进行判断。比如对于循环群，可以证明无限循环群和阶为素数幂的有限循环群的子群都有公共部分，故都是不可分解的。而对于阶有多个素因子的循环群 $G=⟨a⟩$ ，设它的阶有互素分解 $m=m_1m_2\cdots m_n$ ，使用初等数论的知识可以有以下直积分解。
$G=\langle a^{\frac{m}{m_1}}\rangle\langle a^{\frac{m}{m_2}}\rangle\cdots\langle a^{\frac{m}{m_n}}\rangle,\quad\left|\langle a^{\frac{m}{m_k}}\rangle\right|=m_k\tag{14}$

那么是否每个正规子群都可以作为分解因子呢？这一点其实对完全可分解群是成立的。试想如果 $G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n$ 是一个完全分解，且有 $N\trianglelefteq G$ 。首先有 $N\cap G_k\trianglelefteq G_k$ ，而 $G_k$ 是单群，故有 $N\cap G_k=G_k$ 或 $N\cap G_k=\{e\}$ 。这就是说 N 完全落在了某几个 $G_k$ 中，它必定是某些 $G_k$ 的直积，所以也可作为分解因子。另外使用同态定理你还可以证明，如果 $G=N×K$ ，则 $G/N≅K$ ，这就把商积拉到了与 N 平行的位置。

还有一个问题值得考虑，就是可分解群中的子群是被怎样分解的呢？如果 $G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n$ ，我们希望下式能成立，但它的成立是需要条件的。可以证明它成立的充要条件是 $|G_k|$ 互质，充分性使用刚才对循环群的讨论证明 a 分解的每个因子都是其生成群的元素，必要性则通过构造两个 p-阶元（参考下一篇）之积来导出矛盾。另外，如果 $G=G_1×G_2$ 且 $G_1⩽H$ ，则容易证明有 $H=G_1\times(G_2\cap H)$ 。
$H=(H\cap G_1)\times(H\cap G_2)\times\cdots(H\cap G_n)\tag{15}$