第一章 概率论的基本概念

最近开始补一些数学基础，整理一份笔记，仅供参考学习。

基本概念

• 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象

• 随机现象：在个别试验中其结果呈现不确定性，但在大量重复试验中其结果又具有统计规律的现象

• 随机实验及(记为 E)：
  1.可以在相同条件下重复进行；
  2.每次试验的结果不只一个，且事前明确试验的所有可能结果；
  3.在进行试验前不能确定哪一个结果会出现

• 样本空间(记为 S)：随机实验E的所有可能结果组成的集合。( 如投色子：样本空间 S:{1,2,3,4,5,6} )

• 样本空间的元素：样本空间中的每个结果，称为样本点。( 投色子试验有6个样本点 )

• 随机事件：试验E的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件。( 投色子一次，得到6 )

• 必然事件：S 包含所有的样本点，S 是必然事件 (投色子一次，一定得到 1 - 6 中的一个)

• 不可能事件：空集，不包含任何样本点。(投色子一次，不可能得到 7)

事件间的关系 与 事件的运算

• 包含，A ⊂ B， B 包含 A，(口向谁谁大)，指 A 发生，B 必然发生

• 相等，A ⊂ B且B ⊂ A， B 包含 A 且 A 包含 B

• 并(union)，A ∪ B，和事件；A，B中至少有一个发生。

• 交(intersection)，A ∩ B，积事件；A 和 B同时发生

• 差事件(difference)，A - B; A 发生，B 不发生

• 互斥事件，A ∩ B = ∅，A和 B 不可能同时发生

• 对立事件，A ∪ B = S 且 A ∩ B = ∅。不是 A 发生，就 B 发生。(如抛硬币)

运算律：

• 交换律：A ∪ B = B ∪ A； A ∩ B = B ∩ A
• 结合律：A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C ; A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C
• 分配律：A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )；A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

频率与概率

• 频率：n次试验，A 出现的次数，称为 A 的频率

  1. 0 ≤ fn(A) ≤ 1
  2. fn(S) = 1
  3. 若 A,B,C 互斥，fn(A ∪ B ∪ C) = fn(A) + fn(B) + fn(C)

• 概率：
  定义：设 E 是随机实验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A)，称为 事件A 的概率。(简单点说，就是 A 发生的可能性)

  1. 非负性。对于每一个事件 A，有 P(A) ≥ 0
  2. 规范性。对于必然事件 S，有 P(S) = 1
  3. 可列可加性。A,B,C 互斥，则 P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)

概率的性质

1. P(∅) = 0
2. P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) (有限可加性)
3. A,B 两事件，若A ⊂ B，则 P(B) ≥ P(A)
4. 对任一事件 A，有 P(A̅) = 1- P(A) (逆事件概率)
5. 对于任意两个事件A,B，有 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) (加法公式)
6. 推广：对于任意 n 个事件：
   P(A1 ∪ A2 ∪ ... An) = ∑ P(Ai) - ∑ P(AiAj) + ∑ P(AiAjAk) + ... + (-1)exp(n-1) P(A1A2...An)