推导方法1

设雷达与目标之间的距离为R，则在雷达到达目标并且返回的双程路径中，波长 $\lambda$ 的总数为 $\frac{2R}{\lambda}$ ，每个波长对应 $2\pi \ rad$ 的相位变化，双程传播路径的中相位变化就是 $\phi = 2\pi \times \frac{2R}{\lambda} = \frac{4\pi R}{\lambda}$ 。

如果目标相对雷达运动，R和相位都会随着时间变化而变化，求相位和时间的导数，可得相位随时间的变化率，即角频率为 $\omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t } = \frac{4\pi }{\lambda} \frac{\Delta R}{\lambda} = \frac{4\pi v_r}{\lambda} = 2\pi f_d$ ，其中 $\frac{\Delta R}{\Delta t} = v_r$ 表示径向速度；相位 $\phi$ 随着时间的变化率是角频率 $\omega = 2\pi f_d$ ，这里的 $f_d$ 是多普勒频移，因而得到公式 $f_d = \frac{2v_r}{\lambda} = \frac{2f_tv_r}{c}$ 其中 $f_t = \frac{c}{\lambda }$ 。

推导方法二

假设发射信号为 $s(t) = A_tsin(2\pi f_t t)$ ，发射频率为 $f_t$ ，发射幅度为 $A_t$ ，接收信号可表示为 $A_rsin(2\pi f_t(t-T_R))$ ，其中 $A_r$ 表示接收信号的幅度。往返时间 $T_R$ 为 $\frac{2R}{c}$ 。如果目标朝雷达运动，则距离就会发生变化表示为 $R = R_0 - v_r t$ ,其中 $v_r$ 为径向速度。则可以将接收信号的表达式表示为 $A_r sin[2\pi f_t(t-2\frac{R_0-v_r t}{c})] = A_r sin[2\pi f_t (\frac{2v_r}{c}+1)t - \frac{4\pi R_0 f_t}{c}]$ 。可见接收信号的频率变化了 $\frac{2v_r f_t}{c} = \frac{2v_r}{\lambda }$ 倍，这个就是目标的多普勒频移 $f_d$ 。

多普勒公式推导

多普勒公式推导

推导方法1

推导方法二

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