线性代数系列：逆序数和代数余子式技巧

关键词：线性代数

内容摘要

求矩阵某一行/列的代数余子式

求矩阵某一行/列的代数余子式

求矩阵某一行/列的代数余子式可以死算，但是计算量较大，由于代数余子式跟该元素自身无关，所以可以直接把该行/列每一个元素替换为1，正好凑成替换后的矩阵行列式

例题1

已知行列式：
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

求第一行元素的代数余子式之和

解:
要求第一行元素的代数余子式之和，即 $A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14}$ ，可利用行列式展开性质：

将原行列式第一行全部替换为 1，所得新行列式的值即为所求代数余子式之和。

即：
$A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

记该行列式为 $D_1$ ，计算如下：

$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} \xrightarrow{r_4 - 4r_1} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & -4 & -4 & 0 \end{vmatrix}$

对最后一行按第一列展开（或继续化简）：

此时按第一列展开：
$D_1 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ -4 & -4 & 0 \end{vmatrix}$

答案为0

若将题目改为求第一列的代数余子式之和，即求：
$A_{11} + A_{21} + A_{31} + A_{41}$
其中 $A_{i1}$ 是第 $i$ 行第 1 列元素的代数余子式。

根据行列式的展开性质，某一列的代数余子式之和，等于将该列元素全部替换为 1 后所得新行列式的值。

因此，将原行列式第一列替换为全 1：

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

记该行列式为 $D'$ ，计算如下：

$D' = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

使用行变换化简（目标：化为上三角或便于展开）：

令：

$r_2 \leftarrow r_2 - r_1$
$r_3 \leftarrow r_3 - r_1$
$r_4 \leftarrow r_4 - r_1$

得：
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

按第一列展开（只剩第一个元素非零）：
$D' = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

答案为14