文献阅读 | GAM：基于ligation-free方法捕获基因组中增强子间的复杂互作 (Part III：SLICE model）

文章梳理：文献阅读 | GAM：基于ligation-free方法捕获基因组中增强子间的复杂互作 (Part I：文章梳理）

原文链接：
Beagrie RA, Scialdone A, Schueler M, et al. Complex multi-enhancer contacts captured by genome architecture mapping. Nature. 2017 Mar 23;543(7646):519-524. doi: 10.1038/nature21411. Epub 2017 Mar 8. PMID: 28273065; PMCID: PMC5366070.
https://www.nature.com/articles/nature21411

概述

GAM 的直接测量量的是基因组上任意两个位点出现在同一切片（co-segregation）的频率。
作者指出，GAM数据与Hi-C等数据不同的地方在于，GAM数据本身就同时包含了“信号”和“背景”。即GAM不仅测量interacting locus pair 的 co-segragation频率，同时也测量了 non-interacting locus pair的频率。因此，可以通过单纯的统计学检验从随机背景中识别出significant interactions。为此，作者开发了SLICE模型，目的是给出当基因组上有两个位点以 $\pi$ （正文中的 $P_i$ ）的频率互作时，在同一个切片中能同是观察到两位点的概率 $P$ 所服从的分布以及期望。

模型推导

假设共有 $N$ 个细胞核，每个细胞在被激光随机切割，产生一个厚度为 $h$ 切片，测序后得到对应的一个 nuclear profile（ $NP$ ）。
（作者在之后的模型中使用切片厚度 $h =0.22µm$ , 总细胞核数 $N = 408$ ）

Part I：单位点模型

Figure S1.2 (a)

定义

考虑基因组的任意一个位点 $A$
假设在一个切片中

包含 $A$ （或 $B$ )的概率为== $v_1$ ==
不包含 $A$ （或 $B$ )的概率为== $v_0$ ==

显然有， $v_0+v_1=1$

注意：在切片中包含 $A$ 不代表的在最终的 $NP$ 中能检测到A，因为还有DNA检出效率的问题。这部分作者会在之后考虑。

推导

如果该位点在细胞核中的位置是随机分布的。
当假设位点是一个没有体积的质点时， $A$ 在切片中的概率为
$\langle v_1 \rangle = \frac{ V_{NP} }{ V_{Nucleus} }$
其中

$V_{nucleus}$ 是细胞核的平均体积，假设所有检测的细胞核都是一个半径为 $R$ 的球体，则 $V_{nucleus}= {4 \over 3} \pi R^3$
其中 $V_{NP}$ 是切片的平均体积，可首先计算出切片距离细胞核中心为 $z$ 时的切片体积，然后沿 $z$ 进行平均。

综上可解得
$\langle v_1 \rangle = \frac{h}{h+2R}, \qquad \langle v_0 \rangle = \frac{2R}{h+2R}$

但事实上，一定长度的DNA在空间中占有一定体积。
假设长度为 $b$ 的一段DNA在空间中的占位是一个半径为 $r_b$ 的球。则当 $r_b \ll R$ 时，可以使用 $h_{eff}=h+2r_b$ 替代原公式中的 $h$
以上的 $\langle v_0 \rangle， \langle v_1 \rangle$ 改写为

Figure S1.8

最终得到
$\langle v_1 \rangle = \frac{h_{eff}}{h_{eff}+2R} \qquad \langle v_0 \rangle = \frac{2(R-r_b)}{h_{eff}+2R} \tag 1$

Part II：两位点模型

定义：

设两位点间互作的概率为 $\pi$

当在某个细胞中发生互作时，取来自该细胞的切片，设该切片中
- 同时包含 $AB$ 的概率为 $t_2$
- 仅包含 $A$ （或 $B$ ）的概率为 $t_1$
- 既不包含 $A$ 也不包含 $B$ 的概率为 $t_0$
当在某个细胞中未发生互作时，取来自该细胞的切片，设该切片中
- 同时包含 $AB$ 的概率为 $u_2$
- 仅包含 $A$ （或 $B$ ）的概率为 $u_1$
- 既不包含 $A$ 也不包含 $B$ 的概率为 $u_0$

显然有 $t_0+2t_1+t_2=1, \quad u_0+2u_1+u_2=1$

推导：

根据全概率公式，在任意一个切片中，

同时包含 $A,B$ 的概率 $c_2=\pi t_2 + (1-\pi) u_2$
仅包含 $A$ （或 $B$ )的概率 $c_1=\pi t_1 + (1-\pi) u_1$
既不包含 $A$ 也不包含 $B$ 的概率为 $c_0=\pi_0 t_0 + (1-\pi) u_0$

容易推得
$\begin{cases} c_0 + 2c_1 + c_2 = 1 \\ c_0 + c_1 = v_0 \\ \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} c_1 = v_0 - c_0 \\ c_2 = 1 -2v_0 + c_0 \end{cases}$

Part III：模型修正（I），二倍体生物情况

设 $N$ 个细胞核的切片中，包含 $i$ 个 $A$ ， $j$ 个 $B$ 的细胞核个数为： $N_{i,j}$ 。

对于二倍体生物，能检测到的参考基因组上的位点 $A$ 实际上对应同源染色体上的一对等位位点 $A_1,A_2$ ，检测的 $B$ 对应同源染色体上的一对等位位点 $B_1,B_2$ ，因此 $i,j \in\{0,1,2\}$ ，即
$\begin{matrix} \hline & A_1 & B_1 & A_2 & B_2 \\ N_{0,0} & - & - & - & - \\ \hline N_{1,0} & + & - & - & - \\ & - & - & + & - \\ \hline N_{0,1} & - & + & - & - \\ & - & - & - & + \\ \hline N_{1,1} & + & + & - & - \\ & + & - & - & + \\ & - & + & + & - \\ & - & - & + & + \\ \hline N_{2,0} & + & - & + & - \\ \hline N_{2,1} & + & + & + & - \\ & + & - & + & + \\ \hline N_{2,2} & + & + & + & + \\ \hline N_{0,2} & - & + & - & + \\ \hline N_{1,2} & + & + & - & + \\ & - & + & + & + \\ \hline \end{matrix}$

假设：

与同一染色体的两位点互作的概率相比，位于不同染色体上的位点间的互作概率可以忽略不计。即考虑发生在 $(A_1,B_1)$ 和 $(A_2,B_2)$ 的间的互作

发生在 $(A_1,B_1)$ 的互作与发生在 $(A_2,B_2)$ 间的互作是相互独立的

综上可推出

$\left\{\begin{align} \frac{N_{0,0}}{N} &= c_0^2 \\ \frac{N_{0,1}}{N} &= \frac{N_{1,0}}{N} = 2c_0c_1 = 2c_0(v_0-c_0) \\ \frac{N_{1,1}}{N} &= 2c_1^2 + 2c_0c_2 = 2[(v_0-c_0)^2+c_0(1-2v_0+c_0)] \\ \frac{N_{0,2}}{N} &= \frac{N_{2,0}}{N} = c_1^2 = (v_0-c_0)^2 \\ \frac{N_{1,2}}{N} &= \frac{N_{2,1}}{N} = 2c_1c_2 = 2(v_0-c_0)(1-2v_0+c_0) \\ \frac{N_{2,2}}{N} &= c_2^2 = (1-2v_0+c_0)^2 \\ \end{align}\right.$

Part IV：修正（II）检出效率

在实际的实验中，并不是一个切片中的所有DNA都能被检出（都能出现在 $NP$ 中）
假设检出效率为 $\epsilon$ ，此时在一个 $NP$ 中检测到 $\alpha$ 个 $A$ , $\beta$ 个 $B$ 的概率为 $N_{\alpha,\beta}^{\epsilon}$
则
$\begin{split} N^{\epsilon}_{2,2} &= \epsilon^4 N_{2,2} \\ N^{\epsilon}_{2,1} &= \epsilon^3N_{2,1} + 2\epsilon^3 (1-\epsilon) N_{2,2} \\ N^{\epsilon}_{1,1} &= \epsilon^2N_{1,1} + 2\epsilon^2(1-\epsilon)(N_{1,2} + N_{2,1})+ 4\epsilon^2(1-\epsilon)^2N_{2,2}\\ N^{\epsilon}_{1,0} &= \epsilon N_{1,0}+ \epsilon(1-\epsilon)N_{1,1} + 2\epsilon(1-\epsilon)^2N_{2,1} + \epsilon(1-\epsilon)^2N_{1,2}+ 2\epsilon(1-\epsilon)^3N_{2,2}\\ N^{\epsilon}_{0,0} &= N_{0,0}+ (1-\epsilon)(N_{1,0} + N_{0,1}) + (1-\epsilon)^2N_{1,1} + (1-\epsilon)^3(N_{2,1} + N_{1,2})+ (1-\epsilon)^4N_{2,2} \end{split}$
以上可简写为
$N_{\alpha,\beta}^{\epsilon} = \epsilon^{\alpha+\beta} \sum_{i=\alpha, j=\beta}^{2}(1-\epsilon)^{(i+j)-(\alpha+\beta)}(\delta_{\alpha,1}\delta_{i,2}+1)(\delta_{\beta,1}\delta_{j,2}+1)N_{ij}$
其中 $\delta$ 是Kronecker indicator-function，即 $i==j$ 时 $\delta_{i,j}=1$ ，否则 $\delta_{i,j}=0$

Part V 最终模型

记在 $NP$ 中同时检测到 $AB$ ，仅检测到 $A$ （或 $B$ ），没有检测到 $AB$ 的概率依次为： $m_2,m_1,m_0$

则

$\begin{split} \frac{m_0}{m} &= \frac{N^{\epsilon}_{0,0}}{N} \\ \frac{m_1}{m} &= \frac{ 2(N^{\epsilon}_{1,0} + N^{\epsilon}_{2,0}) }{N} \\ \frac{m_2}{m} &= 1 - \frac{N^{\epsilon}_{0,0}}{N} - \frac{ 2(N^{\epsilon}_{1,0} + N^{\epsilon}_{2,0}) }{N} \end{split}$

consegregation ratio
$f = \frac{m2}{m1+m2} = -\epsilon^2(1-v_0)^2+2\epsilon(1-v_0)$

参数估计

Detection rate $\epsilon$

从数据中计算得到 $f$ ，根据 $f$ 计算公式，反解得到
$\epsilon = \frac{1-\sqrt{1-f}}{1-v_0}$

Figure S1.9

interacting pairs co-segregation $t_i$

认为当两位点互作时的间距 $d_I \lesssim h$ 时， $t_2=v_1$

non-interacting pairs co-segeregation $u_i$

将所有locus pair按所在染色体及在染色体上的距离进行分组

将 $\pi=0$ 代入公式计算得到co-segregation ratio的期望值 $m_2/(m_1+m_2)$ ，并与每组的检测值进行拟合

解得位于第 $i$ 条染色体上距离为 $g$ 的locus pair所对应的 $u_2$

interaction probability $\pi$

当 $v_i,u_i,t_i$ 均为已知时， $f$ 是关于 $\pi$ 的函数

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模型推导

Part I： 单位点模型

定义

推导

Part II：两位点模型

定义：

推导：

Part III：模型修正（I），二倍体生物情况

Part IV：修正（II）检出效率

Part V 最终模型

参数估计

Detection rate

interacting pairs co-segregation

non-interacting pairs co-segeregation

interaction probability

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