㈢矩阵的相似对角化
1. 一般矩阵的相似对角化
⑴A为非对称阵（一般相似对角化）
步骤：
①求解A的特征值及其特征向量
技巧: 先求重根的ξ, 后求单根的ξ
②记P = (ξ₁, ξ₂,..., ξn)，列写P⁻¹
③P⁻¹AP = Λ = diag(λ₁, λ₂,..., λn)
⑵A为实对称阵（正交变换法）
性质:
❶实对称阵相似必合同
❷实对称阵的不同特征值的特征向量正交
❸正交变换法求出的线性变换，既是相似对角化，也是合同对角化
❹正交变换矩阵Qᵀ=Q⁻¹
❺正交变换, 使A与Λ既相似又合同
目标: 求出正交的ξ及其λ
步骤：
①求A的特征值
技巧:
❶拆A=B+kE, r(B)=1可口算
❷先消元素对称的行(列)
❸猜根试根法, 带余除法
(可根据特征方程行列式的元素猜根)
②求A的特征向量
技巧: （仅适用三阶实对称阵）
❶三个不等特征值，知两个ξ
求ξ₁×ξ₂的简单倍数记为ξ₃
❷三个特征值, 有一对重根
i. 求单根λ₁的特征向量ξ₁
ii. 直观列写与ξ₁正交的ξ₂
iii. 求ξ₁×ξ₂的简单倍数记为ξ₃
单调矩阵函数f(A)与A有共同的ξ
不单调的f(A)未必与A共享ξ
因为A的不同λ，经过f(λ)的变换后可能形成重根。例如: A²ξ=λξ不能推出A有λ和ξ
③正交化和单位化
❶已经正交的ξ直接单位化即可
❷不正交的ξ, 先正交化再单位化
注：正交化方法：
i. 施密特(αⁱ化为标准正交基βⁱ)
ii. 用正交待定系数列方程
❸单位正交基eⁱ=βⁱ/ ||βⁱ||
④Q=(e₁, e₂,..., en)
Q⁻¹AQ = QᵀAQ = Λ
2. 分块矩阵的相似对角化
①主对角线对角分块矩阵（如图所示）
❶分别对两块矩阵相似对角化
P₁⁻¹AP₁ = Λ₁，P₂⁻¹BP₂ = Λ₂
❷得到的P₁, P₂在主对角线上拼起来
形成新的相似变换阵diag(P₁, P₂)
②副对角线对角分块矩阵 C
条件: 副对角线上的几个矩阵块A，完全一致
如图所示
❶ⅰ. 在草稿纸上，把A写成数字“1”
变成普通副对角线矩阵 C₁
ii. 求C₁的特征值、特征向量
将其相似对角化: P₀⁻¹C₁P₀=Λ₀
iii. 将P₀中的“1”写成“E”, 记作T
将Λ₀中的“1”写作“A”, 记作D
❷写出相似变换矩阵 T
使“D=T⁻¹CT”成为“主对角线对角分块阵”
❸对主对角线对角分块阵D
计算“相似对角变换阵”“P₁”
使P₁⁻¹DP₁=Λ
❹综合上式，
P₁⁻¹DP₁ = (P₁⁻¹T⁻¹)(C)(TP₁) = Λ
记P=TP₁，使P⁻¹CP = Λ
㈣相似对角化的应用
1.矩阵n次方的求解Aⁿ
2.已知ξ和λ反求矩阵
3.矩阵向量乘法和相似对角化的结合
