数字电路基础——进制、编码、门电路和触发器

门电路的表示

	输出	与 (AND)	或 (OR)	与非 (NAND)	或非 (NOR)	异或 (EXOR)	同或 (EXNOR)	非 (NOT)
输入 A B	00 01 10 11	0 0 0 1	0 1 1 1	1 1 1 0	1 0 0 0	0 1 1 0	1 0 0 1	1 1 0 0
逻辑	表示	$Y = A \cdot B$	$Y = A + B$	$Y = \overline{A \cdot B}$	$Y = \overline{A + B}$	$Y = A \oplus B$	$Y = A \odot B$	$Y = \overline{A}$
电路符号	国标	与门.png	或门.png	非门.png	或非门.png		同或门.png	非门.png

数字逻辑基础

二进制转十六进制

对应关系

十六进制	0	1	2	3	4
二进制	0000	0001	0010	0011	0100
十六进制	5	6	7	8	9
二进制	0101	0110	0111	1000	1001
十六进制	A	B	C	D	E
二进制	1010	1011	1100	1101	1110
十六进制	F
二进制	1111

转换方法

取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（或向右）每四位取成一位
组分好以后，对照二进制与十六进制数的对应表（如上表中所示），将四位二进制按权相加，得到的数就是一位十六进制数，然后按顺序排列，小数点的位置不变，最后得到的就是十六进制数。

二进制转八进制

对应关系

八进制	0	1	2	3
二进制	000	001	010	011
八进制	4	5	6	7
二进制	100	101	110	111

转换方法

取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（或向右）每三位取成一位。
分好组以后，对照二进制与八进制数的对应表，将三位二进制按权相加，得到的数就是一位八进制数，然后按顺序排列，小数点的位置不变，最后得到的就是八进制数。

BCD 编码

二进制编码	8421 码	2421 码	余 3 码
0000	0	0	❌
0001	1	1	❌
0010	2	2	❌
0011	3	3	0
0100	4	4	1
0101	5	❌	2
0110	6	❌	3
0111	7	❌	4
1000	8	❌	5
1001	9	❌	6
1010	❌	❌	7
1011	❌	5	8
1100	❌	6	9
1101	❌	7	❌
1110	❌	8	❌
1111	❌	9	❌

反码

表示

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上
- 符号为不变
- 其余各位取反

补码

表示

正数的补码是其本身

负数的补码是在其原码的基础上
- 符号为不变
- 其余各位取反
- 最后 +1

负数的补码是在其反码的基础上 +1

计算

加法和减法统一处理：
- [A-B]补 = [A]补 + [-B]补

还原为原码
- 取反 +1

负数的补码
- $2^{总位数} - |负数|$
- 计算机解法：取反 +1

逻辑代数

对偶

对偶变换

$\cdot \rightarrow +$
$+ \rightarrow \cdot$
$1 \rightarrow 0$
$0 \rightarrow 1$
变量不变

注意：

保持原式运算的优先顺序
原始中长短的“非”号一律不变
单变量的对偶式，仍为其自身，如 $F = A, F' = A$
一般情况下， $F' \neq \overline{F}$ . 只有在某些特殊情况下，才有 $F' = \overline{F}$ . 例如：异或表达式 $F = A \overline{B} + \overline{A} B, F' = (A + \overline{B})(\overline{A} + B)$ ，而 $\overline{F} = (\overline{A} + B)(A + \overline{B})$ ，故 $F' = F$

对偶规则

若有两个逻辑表达式 $F$ 和 $G$ 相等，则各自的对偶式 $F'$ 和 $G'$ 也相等

反演

反演变换

$\cdot \rightarrow +$
$+ \rightarrow \cdot$
$1 \rightarrow 0$
$0 \rightarrow 1$
原变量 $\rightarrow$ 反变量
反变量 $\rightarrow$ 原变量
所得新的逻辑表达式即为 $F$ 的反函数，记为 $\overline{F}$
对不属于单个变量上的“非”号保留不变

最小项

特殊的乘积项（“与”项）
每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次
- - 取 1

最大项

特殊的和项（“或”项）
每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次
- - 取 0

组合逻辑电路

3-8译码器

3-8译码器.png

性质

低电平有效
- 输出的是逻辑变量的最大项
使能端： $\overline{S_1} = \overline{S_2} = 0, S_3 = 1$ 时，译码器正常工作

真值表

序号	$S_3$	$a_2$	$a_1$	$a_0$	$Y_0$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$Y_4$	$Y_5$	$Y_6$	$Y_7$
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1
2	1	0	1	0	1	1	0	1	1	1	1	1
3	1	0	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1
4	1	1	0	0	1	1	1	1	0	1	1	1
5	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
6	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1
7	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0

应用

应用与非门

$F(A, B, C) = m_1 + m_2 + m_5 = \overline{\overline{m_1 + m_2 + m_5}} = \overline{M_1 \cdot M_2 \cdot M_5}$

应用与门

$F(A, B, C) = \Sigma m(1, 2, 5) = M_0 \cdot M_3 \cdot M_4 \cdot M_6 \cdot M_7$

高电平或门

$F(A, B, C) = m_1 + m_2 + m_5$

高电平或非门

$\begin{aligned} F(A, B, C) &= \Sigma m(1, 2, 5) \\\\ &= M_0 \cdot M_3 \cdot M_4 \cdot M_6 \cdot M_7 \\\\ &= \overline{\overline{M_0 \cdot M_3 \cdot M_4 \cdot M_6 \cdot M_7}} \\\\ &= \overline{\overline{M_0} + \overline{M_3} + \overline{M_4} + \overline{M_6} + \overline{M_7}} \\\\ &= \overline{m_0 + m_3 + m_4 + m_6 + m_7} \end{aligned}$

数据选择器（MUX）

74153 双四选一数据选择器

数据选择器.png

真值表

$A_1$	$A_0$	$\overline{ST}$	$Y$
❌	❌	1	0
0	0	0	$D_0$
0	1	0	$D_1$
1	0	0	$D_2$
1	1	0	$D_3$

性质

$\overline{ST}$ 低电平有效

实现组合逻辑函数

例： $F = \Sigma_m(1, 3, 4, 5, 14, 15) + \Sigma_d(6, 7, 10, 11, 12)$

$CD \setminus AB$	00	01	11	10	\
00	0	1	x	0	$B$
01	1	1	0	0	$\overline{A}$
11	1	❌	1	❌	1
10	0	❌	1	❌	$B$
\	$D$	1	$C$	0	\

$\begin{cases} \begin{cases} A_1 = C \\ A_2 = D \\ \end{cases} \\\\ \begin{cases} D_0 = B \\ D_1 = \overline{A} \\ D_2 = B \\ D_3 = 1 \end{cases} \end{cases}$

加法器

半加器（HA）

半加器.png

概念

只考虑两个加数本身，而不考虑低位的进位
输入： $A$ 、 $B$
输出：和 $S$ 、进位 $C$

真值表

A	B	C	S
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

全加器（FA）

全加器.png

概念

求取三个变量（本位的被加数 $A_i$ 、加数 $B_i$ 及低位向本位的进位 $C_{i - 1}$ ）的和 $S_i$ 以及本位向高位的进位 $C_i$
输入： $A_i$ 、 $B_i$ 、 $C_{i - 1}$
输出： $S_i$ 、 $C_i$

真值表

$A_i$	$B_i$	$C_{i-1}$	$C_i$	$S_i$
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

状态表和状态图

状态表

表1.png

表2.png

状态图

状态图.png

触发器

RS锁存器（触发器）

或非门RS触发器

或非门RS触发器.png

状态

置位状态：当且时，无论输出原先处于何种状态，现在一定为 1，且一定为 0
- 或非门：
  
  或非门.png
  
  $Y = \overline{A + B}$
- $S$ 为 1 时 $\overline{Q}$ 为 0，从而 $Q$ 为 0

复位状态：当 $S = 0$ 且 $Q = 1$ 时， $\overline{Q}$ 一定为 1， $Q$ 一定为 0

保持状态：两个输入均为低电平"0"

不定状态：两个输入均为高电平"1"
- 输出两者中转变较快者，不采用

与非门RS触发器

与非门RS触发器.png

状态

置位状态：当且时，无论输出原先处于何种状态，现在一定为 1，且一定为 0
- 与非门：
  
  与非门.png
  
  $Y = \overline{A \cdot B}$
- $S$ 为 0 时 $\overline{Q}$ 为 0，从而 $Q$ 为 0

复位状态：当 $S = 1$ 且 $Q = 0$ 时， $\overline{Q}$ 一定为 1， $Q$ 一定为 0

保持状态：两个输入均为高电平"1"

不定状态：两个输入均为低电平"0"
- 输出两者中转变较快者，不采用

特性表

或非门：

$S$	$R$	$Q$	$\overline{Q}$	情形
1	0	1	0	置位
0	1	0	1	复位
0	0	$Q$	$\overline{Q}$	保持
1	1	❌	❌	未使用

与非门：

$\overline{S}$	$\overline{R}$	$Q$	$\overline{Q}$	情形
0	0	❌	❌	未使用
0	1	1	0	置位
1	0	0	1	复位
1	1	$Q$	$\overline{Q}$	保持

状态图

RS锁存器状态图.png

门控（同步）RS触发器

与非门同步RS触发器.png

只有时钟信号为高电平时， $S$ 和 $R$ 输入端使能

特性方程

$\begin{cases} Q^{n + 1} = S + \overline{R}Q^n \\ SR = 0 \end{cases}$

主从RS触发器

上升沿唤醒主触发器读取信号，下降沿唤醒从触发器输出信号

边沿触发SR触发器

只在上升沿 $(\uparrow)$ 或下降沿 $(\downarrow)$ 采样

逻辑符号时钟信号输入出有三角标识

同步D触发器

同步D触发器.png

同步D触发器逻辑原理图.png

同步D触发器逻辑图.png

$S = D$ ， $R = \overline{D}$
无未使用和保持状态，只有置位 $(D = 1)$ 和复位 $(D = 0)$

特性方程

$Q^{n + 1} = S + \overline{R}Q^n = D + \overline{\overline{D}} Q^n = D$

状态图

D触发器状态图.png

边沿JK触发器

边沿JK触发器逻辑符号.png

$J$ 起 $S$ 的作用， $K$ 起 $R$ 的作用

状态

置位模式： $J = 1$ ， $K = 0$
复位模式： $J = 0$ ， $K = 1$
保持模式： $J = 0$ ， $K = 0$
翻转模式： $J = 1$ ， $K = 1$

特性表

$CP$	$J$	$K$	$Q^{n+1}$	状态
❌	❌	❌	$Q_n$	保持
$\downarrow$	0	0	$Q_n$	保持
$\downarrow$	0	1	0	复位
$\downarrow$	1	0	1	置位
$\downarrow$	1	1	$\overline{Q^n}$	反转

特征方程

$Q^{n + 1} = S + \overline{R}Q^n = J \overline{Q^n} + \overline{KQ^n}Q^n = J\overline{Q^n} + \overline{K}Q^n$

状态图

边沿JK触发器状态图.png

同步T触发器

同步T触发器逻辑原理图.png

同步T触发器逻辑符号.png

状态

保持： $T = 0$
翻转： $T = 1$

特性表

$CP$	$T$	$Q^{n+1}$
0	❌	$Q^n$
1	0	$Q^n$
1	1	$\overline{Q^n}$

特征方程

$Q^{n + 1} = J \overline{Q^n} + \overline{K} Q^n = T\overline{Q^n} + \overline{T} Q^n = T \oplus Q^n$

同步T'触发器

同步T'触发器.png

计数型触发器

状态

翻转： $T = 1, CP = 1$

特征方程

$Q^{n + 1} = T \oplus Q^n = 1 \oplus Q^n = \overline{Q^n}$

特性方程

触发器种类	特性方程
RS	$\begin{cases} Q^{n+1} = S + \overline{R} Q^n \\ SR = 0 \end{cases}$
JK	$Q^{n+1} = J\overline{Q^n} + \overline{K} Q^n$
D	$Q^{n+1} = D$
T	$Q^{n+1} = T \oplus Q^n$
T‘	$Q^{n+1} = \overline{Q^n}$

最后编辑于：2020.06.21 11:45:33

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序号	$S_3$	$a_2$	$a_1$	$a_0$	$Y_0$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$Y_4$	$Y_5$	$Y_6$	$Y_7$
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1
2	1	0	1	0	1	1	0	1	1	1	1	1
3	1	0	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1
4	1	1	0	0	1	1	1	1	0	1	1	1
5	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
6	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1
7	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0

序号	$S_3$	$a_2$	$a_1$	$a_0$	$Y_0$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$Y_4$	$Y_5$	$Y_6$	$Y_7$
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数字电路基础——进制、编码、门电路和触发器

门电路的表示

数字逻辑基础

二进制转十六进制

对应关系

转换方法

二进制转八进制

对应关系

转换方法

BCD 编码

反码

表示

补码

表示

计算

逻辑代数

对偶

对偶变换

对偶规则

反演

反演变换

最小项

最大项

组合逻辑电路

3-8译码器

性质

真值表

应用

应用与非门

应用与门

高电平或门

高电平或非门

数据选择器（MUX）

74153 双四选一数据选择器

真值表

性质

实现组合逻辑函数

加法器

半加器（HA）

概念

真值表

全加器（FA）

概念

真值表

状态表和状态图

状态表

状态图

触发器

RS锁存器（触发器）

或非门RS触发器

状态

与非门RS触发器

状态

特性表

状态图

门控（同步）RS触发器

特性方程

主从RS触发器

边沿触发SR触发器

同步D触发器

特性方程

状态图

边沿JK触发器

状态

特性表

特征方程

状态图

同步T触发器

状态

特性表

特征方程

同步T'触发器

状态

特征方程

特性方程

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序号	$S_3$	$a_2$	$a_1$	$a_0$	$Y_0$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$Y_4$	$Y_5$	$Y_6$	$Y_7$
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1
2	1	0	1	0	1	1	0	1	1	1	1	1
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