信号与系统Laplace变换相关知识的记录

最近刚好正在学信号与系统的Laplace变换，正好借此机会对所学的知识做一个归纳整理，以便更好的理解与掌握。

1.Fourier变换与Laplace变换

Fourier变换： $X(\omega )=\int_{-∞}^{∞}x(t)e^{-j\omega t}dt$ 。

条件：x(t)满足狄利赫里条件：（1）x(t)须绝对可积，即负无穷到正无穷上的积分存在；

（2）在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；

（3）在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

第一个条件限制了很多增长信号的傅里叶变换（包括很多常用的信号例如： $e^{at}(a>0)$ ,u(t)等）,为了使这些函数的积分收敛，所以将x(t)与一个衰减因子 $e^{-\sigma t}$ 相乘,选择合适的 $\sigma$ 值使得 $t\to∞$ 时， $\lim_{x\to+∞}e^{-\sigma t}x(t)\to0$ 。

这样 $e^{-\sigma t}x(t)$ 就满足绝对可积的条件，可以对其进行fourier变换:

$F[e^{-\sigma t}x(t)]=\int_{-∞}^{∞} x(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt=\int_{-∞}^{∞} x(t)e^{-(\sigma +j\omega) t}dt=X(\sigma +j\omega )$

相应的，其fourier反变换为： $e^{-\sigma t}x(t)=\frac{1}{2\pi } \int_{-∞}^{∞}X(\sigma +j\omega )e^{j\omega t}d\omega$ 。两边同时乘以 $e^{-\sigma t}$ 可以得到： $x(t)=\frac{1}{2\pi } \int_{-∞}^{∞}X(\sigma +j\omega )e^{(j\omega+\sigma) t}d\omega$ 。

令 $s=\sigma +jw$ ,则有 $X(s)=\int_{-∞}^{∞}x(t)e^{-st}dt$ .

因为 $d\omega =\frac{ds}{j}$ ，所以 $x(t)=\frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma -∞}^{\sigma +∞}X(s)e^{st}ds$ 。

称 $X(s)=\int_{-∞}^{∞}x(t)e^{-st}dt$ 与 $x(t)=\frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma -∞}^{\sigma +∞}X(s)e^{st}ds$ 为双边Laplace变换对，一般常用起始点为0的单边Laplace变换对，即 $X(s)=\int_{0}^{∞}x(t)e^{-st}dt$ ，称 $x(t)$ 为原函数， $X(s)$ 为象函数。

Fourier变换与Laplace变换意义的区别：Fourier变换将原函数变换到频率域，而Laplace变换将原函数变换到“复频域”。即 $\omega$ 表示震荡的频率， $\sigma$ 表示信号增长或衰减的速率。Fourier反变换在虚轴上进行Laplace反变换在平行于虚轴的一条直线上进行。