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数学方法论与数学教学改革

徐利治

作者简介：

著名数学家、教授。1920年9月出生于江苏省沙洲县。1945年毕业于西南联合大学，1946年冬加入中国共产党。1951年后历任清华大学与东北人民大学（现称吉林大学）副教授及教授等职。现任吉林大学数学系教授及《数学研究与评论》杂志主编。兼任中国科学院成都分院研究教授，大连工学院应用数学研究所所长及华中工学院数学系名誉系主任等职。在渐近分析、函数逼近论、计算方法、组合数学及数学基础等方面发表过 110 篇专题论文。若千项成果在国内外专家的著作中多次被引用并推广。有的被命名为 “徐氏公式”、“徐氏逼近”、“徐氏多项式” 等。出版的数学专著主要有《渐近积分和积分逼近》、《高维数值积分》、《计算组合数学》、《函数逼近的理论与方法》以及《浅谈数学方法论》、《数学方法论选讲》等。科研成果中的《数值逼近与数值积分》一项曾获1982年国家自然科学三等奖。

自1981年以来，笔者曾在大连、长春、武汉的三所高等院校讲授过数学方法论课程，并曾在其它一些城市作过方法论的多次讲演。1983年还由华中工学院出版社出版了拙著《数学方法论选讲》一书，发现不少数学教师和哲学工作者对所述及的题材内容都很感兴趣。有些读者还在来信中提到方法论对培养师资和改革数学方法的重要性。这就引起笔者写作本文的动机。本文打算从数学方法论角度来探讨数学教学改革的有关问题。但提出的观点和建议未必正确合用，仅供有兴趣的读者参考讨论而已。

一般都认为，作为科学方法论重要分支的数学方法论，主要是研究数学发展规律、数学结构的思想方法以及数学的发现、发明与创新等法则的一门学问，显然它与数学教育与教学法研究有着不可分割的联系，所以它能引起数学教师们的普遍关注，也是理所当然的事了。

多少年来，无论是中学数学教本或是大学数学各门课程的教材，都是无例外地把数学知识力求组织成演绎结构系统来进行教学。这有历史的必然性。因为随着人类文化的发展，数学科学知识的庞大积累，必须经过储选和提炼，把最重要最精华的题材，用演绎法串联起来，才能最有效地传授给后代。人类的知识发展过程总带有历史阶段性和逻辑演绎性，所以数学教材的编选，常常要反映历史发展的顺序和演绎推理的要求，这应该是众所公认的准则。

但是，如果要培养具有数学想象力和创造力的青年一代，要使他们不仅能够灵活地运用数学工具，而且还可能日后在科技上有所创新和发明，那么在教材教法中只注重传授演绎性的数学知识，过分强调逻辑演绎推理的训练，将是不利于达到上述目标的，

从方法论角度来看，数学真理知识的发现、发掘和推陈出新，离不开对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理等过程。所以重要的事情，是要教会学生运用科学归纳法，能从特珠例子中去发现出一般性的东西来（例如，从一批特殊结构关系中观察出某种一般性结构或一般数量关系等等）。大家知道，十八十九世纪的杰出数学家欧拉（Euler）和高斯（Gauss）等人都是运用归纳法的大师，他们所获得的许多公式和定理，都是靠归纳法发现的。

归纳法和类比法常常被认为是发现数学真理的重要方法，前者是从特殊过渡到一般的思想方法，后者是由此及彼以及由彼及此的联想方法。只需略略浏览中外数学史，即可发现许多有深远意义的极为重要的数学知识都是通过归纳法与类比法发掘出来的。这方面的题材和例子真是举不胜举。因此在中学和大专学校的数学教材中理应有归纳法与类比法教材的适当位置。

归纳和类比离不开观察、分析和联想。因此，在数学教学中如果适当地加进这方面的有趣题材，则对培养学生的观察力、分析能力和联想能力也是极有帮助的。值得欢迎的是，美籍匈牙利数学家兼数学教育家乔治.波利亚（0.Polya）的名著《数学的发现》、《数学中的归纳与类比》、《数学中的合情推理》（后两书的中译本起名为《教学与猜想》）已陆续译为中文出版发行。这些书包含有大量的有趣题材和富于启发性的例子，相信对国内关心数学教学改革的同志们会有一定的参考价值。

波利亚所说的 “合情推理”（也称似真推理），实际上类似于爱因斯坦（A.Einstein）所倡导的“探索性演绎法”，这种演绎法至少在两点上不同于一般形式逻辑范围内的演绎法：一是作为推理出发点的前提或条件多半是不够充分的，或者是比较模糊的，二是推理的前提或假设往往是一种不稳定的猜测。在推理过程中经常处于可更改的地位。例如，凭直观猜到某命题的一部分必要条件或者可信以为真的条件，用以形象的直观地（由猜想的外推）去“推断”出某种结论来，这便属于第一种情形。在推理过程中发现作为假设的前提不尽正确而需要随时加以修政补充的作法即属于第二种情形。事实上，许多有创造力的数学工作者，正是惯用这种探索性演绎法去发现和建立他们的定理和理论成果的。通常在数学的解题和证题过程中，人们也常常不自觉地试用着探索性演绎法，只是运用这种演绎法的技巧和能力水平各不相同而已。因此有关这种演绎法的题材也应该在教学与教材中占据一定的重要位置。举例来说，数学中需要讲述一些引人入胜的 “反例”，要揭示 “反例” 是怎样发现出来的，不正是阐明 “探索性演绎法 的一种简单应用吗?

综上所述，归纳、类比和探索性演绎法通常是靠猜想与联想（包括直观想象）等心智运动串联起来的。这些心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结构、新的数学方法及数学命题等等。但是，它们毕竟是一种非逻模的思维形式，属于现代心理学上所谓的 “发散思维 范畴，当然，并不能用以精确地建立数学命题和理论。最后要证明命题或定理，还必须用严格的逻辑分析与演绎推理，即收敛思维。

因此，为了培养有创造发明能力，又有逻辑论证能力的数学师资和学生，应该在中学和大专院校的数学教学教材中，采用 “归纳与演绎交互为用的原则”。按照这条原则，不仅应该教学生学会运用科学归纳法试着去猜结论、猜条件、猜定理、猜证法，而且还要让他们学会从探索性演绎法过渡到纯形式的演绎法，能够把预见到的合理命题或定理的这明一丝不苟地建立在逻辑演绎基础上。总而言之，在数学教学过程中，既要发展学生的发散思维能力，又要培训他们的收敛思维能力。既要教会学生进行严格逻辑推理，还要教会学生大胆进行不严格的消想、联想和合情推理。

传统的数学教育与教学似乎过份偏重于培养收敛思维能力，这对造就面向未来的科技人才来说，自然是不够理想的。因此我们认为 “归纳与演绎并用” 的原则在数学教学改革中应该是一条值得重视的原则。

但是，又须把话说回来，数学往往以其特有的逻辑严密性而骄做，数学教师们又往往以讲述为本职。因此正象波利亚在《数学与猜想》一书中所指出的，一般教师都不愿向学生讲述 “不严格的思想方法” （如猜想与合情推理等），以免有损于 “威信”。而且，从归纳到演绎，首先需要观察分析诸特例，作起来有时是很费工夫的，毕竟不象专讲逻辑演绎那样简便而直接。因此，如何恰当地使 “归纳演绎并用的原则” 体现到数学教改中去，看来还有些思想认识问题是需要讨论解决的呢。

青少年从小学、中学到大学，都要把许多时间花在数学学习上，但当他们进入社会从事各行各业的工作后，其中就有一个相当比例的人数，再也用不着或者很少运用他们学过的数学知识，其中还有些人甚至对数学产生了 “那是枯燥无味太伤脑筋的玩意儿” 的错觉。尤其是，一些具有艺术爱好倾向的学生，往往更容易产生上述错觉，有的人还对数学怀有敬而远之的惧怕心理。

其实，上述情况可能是由于数学教育与教学中一贯忽视美学原则所导致的必然现象。作为科学语言的数学，具有一般语文文学与艺术所共有的特点，既数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，所谓数学美。“数学美”的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型牲与普通性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。不仅在高等数学中，证且在初等数学中也处处存在这些数学美。例如，仅就 “对称性” 而言，已故数学家外以耳（H.Weyl）就写过一本讨论这种数学美的著作，令人读之兴味盎然。

谈到数学理论（结构或模型）的典型性，其思想方法实际上和文学创作中的典型性概念是很相似的。文学小说和艺术都要以具体背景素材为基础，采用扬弃法或抽象法塑造出某种来自生活而又高于生活的形象典型。数学理论，其实也是以一些具体何题、具体材料为背录，通过归纳、分析、抽象等一系列过程建立起来的模型结构或关系典型。当然切抽象物都有一个共同特征，它们来自实际、反映实际，而又往往超出实际（所谓 “超出实际"，并不是说脱离实际，而是把一切有着可能性的对象也包括进去的意思，数学的抽急物具有逻辑演绎性，或许这是不同于艺术的主要之点）。

因此，按照上述类比，完全可以教懂即使是具有艺术爱好倾向的学生们，使他们也能领会到 “数学美” 的享受。

数学教育与数学的目的之一，应当让学生们获得对数学美的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学的爱好，也有助于增长他们的创造发明能力。例如，在拙著的第十讲中，笔者曾介绍了庞卡莱（Poincare）和阿达玛（Eadamard）的 “数学领域的发明心理学”。姑且不论他们的观点是否完全正确，但他们一致强调了的 “美的直觉” 在数学创造发明中的作用却是大多数数学工作者所共有的经验。事实上，马克思也曾说过，人类社会的生产活动是按照 “美学原则” 进行的。当然，作为精神生产物的数学知识之符合美学原则（或审美原则）也是无可怀疑的。

因此，我和数学界许多同志都有同样的看法，即认为数学教改中还应把 “数学中的审美原则” 尽可能体现到数学教材与教法中去。

为了在我国培养大批有创造才能的学生，高水平的数学师资的培养自然是刻不容缓的。我同意波利亚的观点，好的数学教师应保持良好的 “作题胃口”，显然这种 “胃口” 将有利于感染学生去发展解题的兴趣和才能。此外笔者还赞成数学教师能够具有泛读数学史的兴趣，且能涉猎一些创造心理与科学方法论。这样，将有助于增长教师本身对数学科学的审美修养，从而能潜移默化地去感染学生们爱好数学

以上只是提了一些原则性观点或建议，至于如何在具体的数学教材改革与教法改革中去反映上述原则，那还有许多实际问题需要进一步讨论研究。本文目的仅是抛砖引玉，有何不当之处，敬希批评指正。