试题 算法训练 摆动序列
问题描述
如果一个序列满足下面的性质，我们就将它称为摆动序列：
1. 序列中的所有数都是不大于k的正整数；
2. 序列中至少有两个数。
3. 序列中的数两两不相等；
4. 如果第i – 1个数比第i – 2个数大，则第i个数比第i – 2个数小；如果第i – 1个数比第i – 2个数小，则第i个数比第i – 2个数大。
比如，当k = 3时，有下面几个这样的序列：
1 2
1 3
2 1
2 1 3
2 3
2 3 1
3 1
3 2
一共有8种，给定k，请求出满足上面要求的序列的个数。
输入格式
输入包含了一个整数k。（k<=20）
输出格式
输出一个整数，表示满足要求的序列个数。
样例输入
3
样例输出
8
思路：
从题目中我们获得了几个关键点，就是用户输入的值表示k的值，然后让1到k的值组出题目要求的摆动序列，我们知道组成一组时一组不可以有重复的数，也要满足序列个数至少为2。然后在满足 如果第i – 1个数比第i – 2个数大，则第i个数比第i – 2个数小；如果第i – 1个数比第i – 2个数小，则第i个数比第i – 2个数大。
我们知道当序列个数至少为2时那么k的值必须大于等于2，那么序列的个数一定是小于等k的。所以我们可以建立一个dp[i][j] i表示序列中的数字个数，j表示k的取值.那我们可以知道当j=2时 对应k的满足上面要求的序列的个数。dp[i][2]=i*(i-1) (i表示对应的k的值)当我们初始化后就是求对应dp的满足上面要求的序列的个数。
我们dp[i][j]可以把k的上一个数的对应种数算到里面去，这种是当没有加当前k的这个值的序列个数，那我们要加当前k的数那么就应该找k-1的数在j-1里面的序列个数就是加当前k有可能组出的摆动序列。那么转移方程就是：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]
程序：
n=int(input())
dp=[[0 for i in range(n+2)]for i in range(n+2)]
for i in range(2,n+1):
dp[i][2]=i*(i-1) #初始化把以知结果填进去
for i in range(3,n+1): #当前的k
for j in range(3,i+1): #当前序列中的个数
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1] #考虑不加当前i的数和加当前i的数的总和 （i表示当前k的范围值）
print(sum(dp[n]))
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