刚体运动学（3）：欧拉角

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 行列式与坐标反演

在刚体运动学（1）中已经提到，唯一地确定刚体内某点的位置一共需要 $6$ 个坐标。其中 $3$ 个位置坐标用来确定 $S^{\prime}$ 参考系的相对位置，剩下 $3$ 个方向坐标则是从 $9$ 个方向余弦中消去 $6$ 个正交条件得到的。

$\bullet$ 考虑两个正交变换

$\begin{align*}x_i &= a_{ij}^{\prime}x_j^{\prime}\\x_k^{\prime} &= a_{ki}x_i \end{align*}\\$

将式一代入式二，得

$x_{k}^{\prime} = a_{ki}a_{ij}^{\prime}x_j^{\prime}\\$

由于坐标 $x_k^{\prime}$ 之间均是独立的，该等式若成立，则只有可能

（1）当 $j = k$ 时， $a_{ki}a_{ij}^{\prime} = 1$

（2）当 $j \neq k$ 时， $a_{ki}a_{ij}^{\prime} = 0$

所以

$a_{ki}a_{ij}^{\prime} = \delta_ {jk}\\$

或者写成矩阵形式

$\rm{A}\rm{A}^{-1} = I\\$

$\bullet$ 现在考虑双重求和

$a_{kl}a_{ki}a_{ij}^{\prime}\\$

不论是矩阵还是张量的形式，都满足结合律。

如果先结合前两者，有

$(a_{kl}a_{ki})a_{ij}^{\prime} = \delta_{li}a_{ij}^{\prime} = a_{lj}^{\prime}\\$

如果结合后两者，

$a_{kl}(a_{ki}a_{ij}^{\prime}) = a_{kl}\delta_{kj} = a_{jl}\\$

于是

$a_{jl} = a_{lj}^{\prime}\\$

一般，将 $a_{ij}$ 的下指标互换的操作对应求矩阵 $\rm{A}$ 的行与列相互对调。我们将其称为矩阵 $\rm{A}$ 的转置（transpose），表示为 $\rm{A}^{t}$ 。

所以对于正交矩阵，有

$\rm{A}^{t} = \rm{A}^{-1}\\$

$\bullet$ 对等式： $\rm{A}\rm{A}^{-1} = I$ 求行列式（determinant），有

$\begin{align*}|\rm{A}\rm{A}^{-1}| &= |I|\\|\rm{A}|^2 &= 1\end{align*}\\$ $\implies |A| = \pm 1\\$

可见，正交矩阵的行列式只能为正负一。

$\bullet$ 但实际上，对于刚体，所有代表着真实旋转的正交矩阵的行列式必须为 $+1$ ，这样的正交矩阵是常规的（proper）。相反，对于那些行列式为 $-1$ 的正交矩阵，对应的旋转则不具备任何实际物理意义，它们是反常的（improper）。只有刚体旋转对应的正交变换是一个常规矩阵，我们才可以写出系统的拉格朗日函数并得到运动方程。原因是任何对应了刚体真实运动的变换必须要从单位矩阵 $\rm{I}$ 开始进行连续变化，由于单位矩阵行列式为 $+1$ ，如果过程中行列式突然变为 $-1$ ，那么这样的变化将不再满足“连续”的特点，故无法代表刚体的真实位移。

更具体一点的解释，让我们考虑一个行列式为 $-1$ 的 $3 \times 3$ 矩阵

$\rm{S} = \begin{bmatrix} -1 & 0& 0\\0&-1&0\\0&0 &-1\end{bmatrix} = -\rm{I}$

该矩阵可以改变坐标轴或者矢量分量的方向。这样的变换将一个右手坐标系变为了左手坐标系，所以通常被称为坐标反演（inversion of coordinates）。

想要执行坐标系的反演变换并不难，其中一种方法就是先进行绕转轴（如 $z$ 轴） $\pi$ 弧度的旋转变换，然后再进行仅关于转轴的反射变换。

或者，用矩阵表示

$\rm{S} = \begin{bmatrix} -1 & 0& 0\\0&-1&0\\0&0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0& 0\\0&1&0\\0&0 &-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0& 0\\0&-1&0\\0&0 &-1\end{bmatrix}$

如此一来，一个遵循右手定则的坐标系就变为了一个遵行左手定则的坐标系。

从反演变换的本质来看，因为涉及到了关于某个方向的反射，很明显，从右手参考系到左手参考系的变换是不可能通过任何方向上刚性变化达成的。所以，任何涉及到坐标反演的变换绝不可能用来表示一个刚体的真实位移。由于任何其它行列式等于 $-1$ 的矩阵均可被表示为矩阵 $\rm{S}$ 与一些行列式为 $+1$ 矩阵的乘积，所以任何行列式为 $-1$ 的矩阵亦无法表示刚体的真实位移。所以，与刚体真实运动所对应的变换矩阵的行列式只能等于 $+1$ 。

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 欧拉角

$\bullet$ 最常用，也是最有用的一组用来描述刚体位置的方向坐标要属欧拉角（Eulerian angles），由数学家欧拉最早提出。

根据坐标变换的本质，从笛卡尔坐标系出发，进行三次特定连续的旋转变换后，我们可以得到另一个新坐标系。欧拉角则是被定义为这三次连续特定旋转的角度。

$\bullet$ 在有效范围内，三次连续旋转的角度大小和转轴的选取顺序其实存在一些随意性。初始旋转的转轴可以是三个笛卡尔坐标中的任意一个，但接下来两次旋转的转轴选取必须要保证三次旋转中不能出现连续的两次绕相同轴的旋转，这就是唯一的限制条件。所以，对于右手坐标系，我们一共有 $3 \times 2 \times 2 = 12$ 种不同顺序，即存在 $12$ 种可被用来定义欧拉角的顺规。大部分经典力学教材的作者采用的是第二次旋转绕 $x$ 轴的“ $x$ -顺规（x-convetion）”，而大多量子力学、核物理、粒子物理的教材使用的则是第二次旋转绕 $y$ 轴的“ $y$ -顺规（y-convention）”。此外，为了弥补前两种约定在变换前后的坐标系区分程度低的缺点，还有第三种常见约定： $xyz$ -顺规（xyz-convention），它在工程应用中经常出现，被经常用来描述如飞机和火箭等移动载具或导弹的方向。这三个角度分别是：关于竖直转轴旋转得到的偏航角（yaw angle），关于垂直于机体转轴旋转得到的姿态角（attitude angle）以及关于机身轴旋转得到的横摆角（roll angle）。根据 $xyz$ -顺规得到的角有时也被称为泰特-布莱恩角（Tait-Bryan angles）。

$\bullet$ 本篇将主要讨论 $x$ -顺规，以后可能会将后两者添加作为补充。

$x$ -顺规可分为下列三次连续旋转：

（1）按逆时针绕坐标系 $xyz$ 中的 $z$ 轴旋转角度 $\phi$ ，将得到的新坐标系命名为 $\xi \eta \zeta$ 。

（2）按逆时针绕坐标系 $\xi \eta \zeta$ 中的 $\xi$ 轴旋转角度 $\theta$ ，将得到的新坐标系命名为 $\xi^{\prime}\eta^{\prime}\zeta^{\prime}$ 。

（3）按逆时针绕坐标系 $\xi^{\prime}\eta^{\prime}\zeta^{\prime}$ 中的 $\zeta^{\prime}$ 轴旋转角度 $\psi$ ，将得到的新坐标系命名为 $x^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}$ 。

根据定义，我们将独立角参量 $\phi \theta\psi$ 称为欧拉角。它们分别是：

自转角 $\phi$ （rotation angle），章动角 $\theta$ （nutation angle）和旋进角（进动角） $\psi$ （precession angle）。这些名称最早来源于天文学。

$\boldsymbol{\xi}^{\prime}$ 轴位于刚好位于图中 $xy$ 平面与 $\xi^{\prime} \eta^{\prime}$ 平面的夹角，被称为交点线（line of nodes）。

$\bullet$ 三次转动变换可以被表示为

$\boldsymbol{\xi} = \rm{Z}(\phi)\mathbf{x}\\$

$\boldsymbol{\xi}^{\prime} = N(\theta)\boldsymbol{\xi}\\$

$\mathbf{x}^{\prime} = \rm{Z}^{\prime}(\psi)\boldsymbol{\xi}^{\prime}\\$

其中 $\mathbf{x},\mathbf{x}^{\prime},\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\xi}^{\prime}$ 均为列矩阵， $\rm{Z}(\phi),N(\theta),\rm{Z}^{\prime}(\psi)$ 均为转动算符。

于是

$\mathbf{x}^{\prime} = \rm{Z}^{\prime}(\psi)N(\theta)\rm{Z}(\phi)\mathbf{x} = R(\phi,\theta,\psi)\mathbf{x}\\$

$\rm{R}(\phi,\theta,\psi) = \rm{Z}^{\prime}(\psi)N(\theta)\rm{Z}(\phi)\\$

或者用矩阵表示

$\boldsymbol{\xi} = \begin{bmatrix}\cos\phi & \sin\phi & 0\\-\sin\phi & \cos\phi & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\mathbf{x}\\$

$\boldsymbol{\xi}^{\prime} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0& -\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\\$

$\mathbf{x}^{\prime} = \begin{bmatrix}\cos\psi & \sin\psi & 0\\-\sin\psi & \cos\psi& 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\\$

$\rm{R}(\phi,\theta,\psi) = \begin{bmatrix}\cos\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\sin\psi & \cos\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\sin\psi & \sin\psi\sin\theta\\-\sin\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\cos\psi & -\sin\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\cos\psi & \cos\psi\sin\theta\\\sin\theta\sin\phi & -\sin\theta\cos\phi & \cos\theta \end{bmatrix}\\$

$\bullet$ 从 $\mathbf{x}^{\prime}$ 到 $\mathbf{x}$ 的逆变换为

$\mathbf{x} = \rm{R}^{-1}\mathbf{x}^{\prime}\\$

由于矩阵 $\rm{R}$ 由三个正交矩阵组成，本身也是具有正交性

$\rm{R}^{-1} = \rm{R}^{t}\\$

所以

$\mathbf{x} = \rm{R}^{t}\mathbf{x}^{\prime}\\$

求矩阵 $\rm{R}$ 的转置即可。

最后编辑于：2020.02.23 22:00:29

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 212,029评论 6赞 492
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 90,395评论 3赞 385
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 157,570评论 0赞 348
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 56,535评论 1赞 284
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 65,650评论 6赞 386
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 49,850评论 1赞 290
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,006评论 3赞 408
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 37,747评论 0赞 268
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,207评论 1赞 303
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,536评论 2赞 327
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 38,683评论 1赞 341
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,342评论 4赞 330
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 39,964评论 3赞 315
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 30,772评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,004评论 1赞 266
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 46,401评论 2赞 360
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 43,566评论 2赞 349

刚体运动学（3）：欧拉角

行列式与坐标反演

欧拉角

推荐阅读更多精彩内容

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 行列式与坐标反演

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 欧拉角