MIT线性代数总结笔记——Ax=0和Ax=b

求解Ax=0

消元法求解零空间

那么我们如何求解 $Ax=0$ 呢？还是使用消元法，之前我们说使用消元法求解方程 $Ax=b$ 时，我们对一种情况是无法处理的，那就是矩阵 $A$ 不可逆的情况，之前对这种情况的解释是求出的解不唯一，这其实正好对应了现在我们所认识到的“空间”的概念。我们从最简单的零空间（ $b=0$ ）的计算谈起。

例1： $Ax = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4& 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{matrix}\right]$ ，求 $Ax=0$ 中的 $x$ 构成的零空间

先将方程写出，如下

$Ax = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4& 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{matrix}\right] = 0$

首先观察矩阵 $A$ 我们发现，第三行是前两行的和，这意味着即使主元为 $0$ ，我们也得继续消元下去。那么按部就班，有

$\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4& 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{matrix}\right] \Rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0& 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{matrix}\right] \Rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0& 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] (阶梯形式)= U$

在消元的过程中，我们发现矩阵 $A$ 的主元（Pivot）数量为 $2$ （ $1$ 和 $2$ ），主元的个数称为矩阵的秩（Rank)，因此在本题中矩阵 $A$ 的秩为 $2$ 。

接下来就是回代求解了，由于消元得到的 $U$ 不是一个严格的上三角矩阵，对角线上的 $0$ 给我们造成了解不唯一的麻烦，所以这里我们先来声明几个概念

$\left[\begin{array}{c|c|c|c} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0& 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$ 中，列 $\left[\begin{array}{c|c|c|c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c|c|c|c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right]$ 被称为主列（Pivot Columns，主元所在的列），其余两列 $\left[\begin{array}{c|c|c|c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c|c|c|c} 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right]$ 被称为自由列（Free Columns），所谓自由列就是表示其对应的未知变量 $x_n$ （ $n$ 表示自由列是第 $n$ 列）可以被任意分配值。因为回代求解时，只有主列对应的未知数的解有确定值。因此矩阵 $A$ 中的主变量（主元）为 $x_1$ 和 $x_3$ ， $x_2$ 和 $x_4$ 为自由变量。

（1）我们假设，令 $\left[\begin{matrix} x_2 \\ x_4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]$ ，代入方程

$\begin{cases} x_1+2x_2+2x_3+2x_4=0 \\2x_3+4x_4=0 \end{cases}$

解得

$\begin{cases} x_1=-2 \\x_3= 0 \end{cases}$

因此当 $\left[\begin{matrix} x_2 \\ x_4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]$ 时，解向量为 $\left[\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]$ ，这只是零空间中的一个解，这个解表示 $-2$ 倍的列 $1$$+$$1$ 倍的列 $2$$=0$ ，如果想找出更多零向量中的解，我们只需要求它的倍数，所以 $x=c\left[\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right](c为任意实数)$ ，这是一条在四维空间中无限延伸的直线，但它不是整个零空间。

（2）我们再令 $\left[\begin{matrix} x_2 \\ x_4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]$ ，代入方程

$\begin{cases} x_1+2x_2+2x_3+2x_4=0 \\2x_3+4x_4=0 \end{cases}$

解得

$\begin{cases} x_1=2 \\x_3=-2 \end{cases}$

因此当 $\left[\begin{matrix} x_2 \\ x_4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]$ 时，解向量为 $\left[\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\right]$ ，因此另一条在四维空间中的直线为 $x=d\left[\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\right]（d为任意实数）$

那么还能为 $\left[\begin{matrix} x_2 \\ x_4 \end{matrix}\right]$ 赋其他值吗？很明显其他情况都可以被 $\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]$ 和 $\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]$ 的线性组合所涵盖，所以这两个解向量足够代表空间的特征了，我们称这两个解向量为特解，其特殊之处在于我们给自由变量赋值为 $\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]$ 和 $\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]$ 。通过特解的任意倍的线性组合，可以构造出整个零空间。因此便得出了矩阵 $A$ 的零空间

$x=c\left[\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]+d\left[\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\right](c和d为常数)$

算法总结

对于一个 $m×n$ 的矩阵A，若其秩为 $r$ ，那么意味着其主变量为 $r$ 个，而自由变量为 $n-r$ 个。也就是说，只有 $r$ 列起作用。我们需要先对矩阵 $A$ 进行消元，得到 $r$ 个主元，由于有 $n$ 个变量 $x$ ，我们再将其中的 $n-r$ 个自由变量依次赋值为 $\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right]、\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right]、\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix}\right]$ 。接着求解方程的特解，将特解的任意倍进行线性组合即可得到矩阵 $A$ 的零空间。

简化阶梯形式

尽管上面的消元法看上去已经很完美了，但事实上仍有化简的余地，最后得到的 $U$ 矩阵仍可以被进一步化简。我们以上文中的 $U=\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0& 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]$ 为例，继续化简的目标是令对角线上的主元为1，并且通过列交换将主元放在一起，把自由列放在一起来构成新的矩阵，操作如下

$U=\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0& 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0& 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right](向上消元) = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0& 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right](提第二行公倍数) = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right](列交换) = R$

也就是说最终我们能将上三角矩阵 $U$ 化简成矩阵 $R$ ，矩阵 $R$ 的一般形式为

$R = \left[\begin{matrix} I & F \\ 0 & 0\end{matrix}\right]$

其中， $I$ 表示主列，由于 $r$ 个主列的主元被化简成了 $1$ ，因此这部分变成了 $r$ 维单位矩阵， $F$ 表示自由列，共有 $n-r$ 个自由列。有了矩阵 $R$ 我们可以改写 $Ax$ 的表达形式

$Ax = Rx = \left[\begin{matrix} I & F \\ 0 & 0\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_{主元} \\ x_{自由变量} \end{matrix}\right] = RN = 0$

这里的 $N$ 为零空间矩阵，即各列向量由特解组成的矩阵

$N = \left[\begin{matrix} -F \\ I \end{matrix}\right]$

需要注意的是，这里的单位矩阵和矩阵 $R$ 中的有所不同，这里的 $I$ 是 $n-r$ 维的，是将 $n-r$ 个自由变量分别赋值为 $0$ 或 $1$ 得到的。将上文中的示例代入到 $R$ 和 $N$ ，得到

$R = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right],\quad N=\left[\begin{matrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right]$

由于 $x_1$ 和 $x_3$ 是主列， $x_2$ 和 $x_4$ 是自由列，因此只需交换零空间矩阵中的第2、3行即可得到特解 $\left[\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]$ 和 $\left[\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\right]$ 。因此将矩阵 $U$ 化简称矩阵 $R$ 可以直接求解零空间。我们用下面一个例题来试验一下：

例 $A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 2 & 8 & 10\end{matrix}\right]$ ，求解 $Ax=0$ 中 $x$ 构成的零空间。

（1）将 $A$ 消元为 $U$ ： $A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 2 & 8 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = U (r = 2)$

（2）将 $U$ 化简为 $R$ ： $U = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = R$

（3）得到零空间矩阵 $N$ ： $N = \left[\begin{matrix} -F \\ I \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\right]$

（4）得到零空间： $x=c\left[\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\right](c为任意实数)$

求解Ax=b

Ax=b的可解性

对于 $Ax=b$ 我们知道这个方程不一定有解，在之前的章节中说明了 $Ax=b$ 是否有解取决于 $b$ 是否在 $A$ 的列空间中，我们再通过一个例子来说明一下

例求方程 $\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix}\right]$ 的可解条件。

在这个方程中，观察矩阵A，发现矩阵中第三行为第一行和第二行的和。根据之前的Gauss-Jordan消元法，我们可以得到

$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3- b_2-b_1 \end{array}\right]$

代入方程，会发现最后一行 $0 = b_3-b_2-b_1$ ，这一行方程必须成立，因此这一行就是方程的可解条件。同时，它还反映了 $b$ 向量的第三个分量是前两个分量之和，这也与矩阵 $A$ 的特点一致，这也印证了 $Ax=b$ 是否有解取决于 $b$ 是否在 $A$ 的列空间中。

结合之前的章节总结出 $Ax=b$ 有解条件：

列空间角度：当且仅当 $b$ 属于 $A$ 的列空间时成立
线性组合角度：当且仅当 $b$ 是 $A$ 各列的线性组合时成立
矩阵变换角度：如果 $A$ 各行线性组合后得到零行，那么 $b$ 取相同运算方式也必将得到 $0$

求解Ax=b

接下来介绍通解和特解，通解就是满足方程所有的解，将“无穷解”用一种形式表达出来，对于 $Ax=b$ 这个方程

$通解=矩阵零空间向量+矩阵特解$

因为矩阵零空间向量代入方程最后结果等于 $0$ ，所以它不会影响等式，而是把方程的解向量扩展到一个类似子空间上，使我们求出的解更具有普遍意义，而求解零空间我们在上文也已经介绍，下面我们只需要关注如何求特解即可。在之前求解 $Ax=0$ 方程的特解时，我们分别将自由变量赋值为 $0$ 或 $1$ ，得到

$x=c\left[\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]+d\left[\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\right](c和d为任意实数)$

观察这个表达式会发现，只要将系数 $c$ 和 $d$ 定为 $0$ 就可以得到零空间中的零向量，而且我们不能在求解 $Ax=0$ 时将自由变元都赋为 $0$ 。但是在 $Ax=b$ 中，只要 $b$ 不是 $0$ ，我们就可以将自由变元全部赋为 $0$ ，使用此方法即可得到特解。

接下来补充上述例题中方程的条件

$\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}\right]$

Gauss-Jordan消元后得到

$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

将 $\left[\begin{matrix} x_2 \\ x_4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]$ 回代方程得到

$\begin{cases} x_1+2x_3=1 \\2x_3=3 \end{cases}$

解得特解为 $\left[\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{matrix}\right]$

利用上一节的知识我们很容易求出 $A$ 的零空间为

$c_1\left[\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]+c_2\left[\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\right](c_1和c_2为任意实数)$

因此 $Ax=b$ 的解为

$特解+零空间任意向量=\left[\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{matrix}\right] + c_1\left[\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]+c_2\left[\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\right](c_1和c_2为任意实数)$

这个解集在几何角度的解释是 $R^4$ 上的一个不过原点的二维平面，显然这个解集无法构成一个向量空间，因为解集中不包含零向量。

矩阵的秩与解的关系

我们在消元求 $Ax=b$ 的过程中会发现，矩阵的秩对最后解的形式有着重要的影响，下面我们来总结一下其中的规律。

列满秩

对于 $m×n$ 的矩阵 $A$ ，列满秩时，意味着没有自由列， $r=n<m$ ，此时零空间中只有零向量（不需要求零空间）， $Ax=b$ 的解要么有解且唯一（特解 $x_p$ ），要么无解。例如

$A = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 5 & 1 \end{matrix}\right] \quad r=2=n<m$

消元，由于两列线性无关，因此只有两个主元，逐行减去第一行的若干倍，行三和行四清零，得到第二个主元，然后各行都减去第二个主元的若干倍，最终第二个主元化为 $1$ 的得到矩阵 $R$

$A = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 5 & 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} I \\ 0 \end{matrix}\right]=R$

行满秩

对于 $m×n$ 的矩阵 $A$ ，行满秩时，意味着有 $m$ 个主元（每一行各一个）， $r = m<n$ ，此时自由变元有 $n-r$ 个，必然有解而且有无穷多解，例如

$A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right] \quad r=2=m<n$

最后我们会消元得到 $R=\left[\begin{matrix} I & F \end{matrix}\right]$

行列满秩

对于 $m×n$ 的矩阵 $A$ ，行列满秩时，意味着矩阵可逆， $r = m = n$ ，此时自由变元有 $0$ 个，经过消元，最终矩阵可化为单位矩阵 $I$ ，即一个全是主元的方程组，最终只能有一个唯一解。例如

$A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1\end{matrix}\right] \quad r=2=m=n$

最后消元得到 $R=I$

不满秩

对于 $m×n$ 的矩阵 $A$ ，不满秩时，意味着通过消元最终会得到 $R = \left[\begin{matrix} I & F \\ 0 & 0\end{matrix}\right]$ ，因此方程的解要么无解，要么无穷多解（特解+零空间所有向量）

小结

综上所述，会发现自由变量总为 $n-r$ 个，所以通过判断自由变元的个数可以初步判断 $Ax=b$ 的解的结构：如果没有自由变元，意味着方程的解唯一或者无解；如果存在自由变元，意味着方程的解有无穷多解或者无解。也就是说，自由变元是否存在决定了方程的解是否唯一。另一点是，可以通过观察消元后矩阵 $A$ 是否存在 $0$ 行来进一步判断方程是否有解：如果矩阵 $A$ 中没有零行时，意味着方程一定有解；如果存在零行，则需要考虑方程是否满足可解条件。

除此之外，我们还发现了零空间实际上就是用来判断矩阵 $A$ 的各列向量是否是线性无关的，如果各列向量是线性无关的，那么零空间中只有零向量，如果各列向量是线性相关的，那么零空间中除了零向量还有其他向量。因此零空间反映的就是 $A$ 各列向量的线性组合。

关于Ax=b的另一种解释

当我们求解方程时，例如

$\begin{cases} 2x-y=0 \\ -x+2y=3 \end{cases}$

矩阵表达如下

$\left[\begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}\right]$

除了使用消元法或判断矩阵是否满秩以外，我们还可以从列空间的角度来看这个方程，改写一些这个矩阵表达如下

$x\left[\begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix}\right] + y \left[\begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}\right]$

那么我们判断这个方程是否有解的条件实际上就是判断向量 $\left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}\right]$ 是否在以向量 $\left[\begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix}\right]$ 和向量 $\left[\begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix}\right]$ 构成的列空间中，换句话说，向量 $\left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}\right]$ 是否可以表达成向量 $\left[\begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix}\right]$ 和向量 $\left[\begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix}\right]$ 的线性组合。由于向量 $\left[\begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix}\right]$ 和向量 $\left[\begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix}\right]$ 是线性无关的，因此可以张成一个二维平面，而向量 $\left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}\right]$ 只是其中的一个二维向量，因此可以推断出方程一定有解。

最后编辑于：2022.04.14 13:57:11

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MIT线性代数总结笔记——Ax=0和Ax=b

求解Ax=0

消元法求解零空间

算法总结

简化阶梯形式

求解Ax=b

Ax=b的可解性

求解Ax=b

矩阵的秩与解的关系

列满秩

行满秩

行列满秩

不满秩

小结

关于Ax=b的另一种解释

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