一题思考（3）

1.图2阴影部分的面积为3，可得 $a^2+b^2=3$ ，图3四边形ABCD的面积为5，可得 $\frac{1}{2} （m+n）^2=5$ ，即 $（m+n）^2=10$ .图3阴影部分的面积是 $\frac{1}{2} (m+n)^2-\frac{1}{2} m^2 -\frac{1}{2} n^2=\frac{1}{2}mn$ 。这些都不是太多问题，关键是已知条件 $am-bn=2,an+bm=4$ 怎么用？

考虑到前面得到的两个等式都有平方，于是就想到对后面的两个等式两边分别平方。

$（am-bn）^2=a^2m^2-2ambn+b^2n^2$ ， $（an-bm）^2=a^2n^2+2ambn+b^2m^2$ .

观察这两个等式，发现右边的多项式，都出现了平方项，而且 $-2abmn与2abmn$ 系数正好互为相反数，于是不妨考虑把这两个等式左右两边分别相加，得到 $a^2m^2+b^2n^2+a^2n^2+b^2m^2=20$ ，接下来怎么办呢？

只能考虑分组分解，得 $(a^2+b^2) (m^2+n^2) =20$ ，利用前面的条件，就可以求出 $m^2+n^2=\frac{20}{3}$ ，后面一切迎刃而解。

2.本题的两个等式 $a^2+2a=b+2$ ①， $b^2+2b=a+2$ ②，从形式上看，好像满足 $a=b$ ，但是题目条件规定 $a\neq b$ ，那么怎么办呢？再看要求的结论 $\frac{b}{a} +\frac{a}{b} =\frac{a^2+b^2 }{ab}$ ，考虑到整体求值，只要知道 $ab，a+b，a^2+b^2$ 中的其中两个值就可以，那么不妨从①+②或①-②着手，本题就有办法。

3.本题思路估计还是整体代入求值。

由 $a^2+2ab=-2，$ 得 $a^2=-2ab-2$ ，由 $ab-b^2=-4$ ，得 $b^2=-ab-4$ ，然后分别代入 $2a^2+\frac{7}{2} ab+\frac{1}{2} b^2$ ，就可以求出。

（1）已知多项式 $x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24$ 可分解为两个一次因式的积，求 $k$ 的值。

思考：两个一次因式明显含有 $x,y$ 及常数项，而且从多项式的各系数来看， $x$ 的系数肯定是1，常数项乘积是 $-24$ ，但是不确定。如果按照常规待定系数法，不妨设 $(x+my+a)(x+ny+b)=x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24$ ，于是可得 $a+b=-5,ab=-24,mn=k,an+bm=43,m+n=7$ ，从中求出 $a,b,m,n,k$ 。

不过看到 $x^2-5x-24=(x-8)(x+3)$ ,于是也可以考虑设 $（x+my-8）(x+ny+3)=x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24$ ，于是可得 $m+n=7,3m-8n=43$ ，从而可以直接求出 $m,n$ 的值，进而求出 $k$ 。

当然，本题也可以用双十字相乘法，但能力要求较高。

4.本题其实是用到了勾股定理，但现在也可以通过找规律来求解。

（1）其实没有难度；

（2）各个代入后得到 $\frac{1}{S_{1} +S_{2} } +\frac{1}{S_{2} +S_{3} } +\frac{1}{S_{3}+S_{4} } +\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{S_{99} +S_{100} }$ = $\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2} } +\frac{2}{\sqrt{2} +\sqrt{3} } +\frac{2}{\sqrt{3} +\sqrt{4} } +\cdot \cdot \cdot +\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{x100} }$ ，这时候可能会看不出，需要分母有理化；

（3）还是要找规律。

一题思考（3）

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