0x11 浅谈RSA加密算法的数学原理与编程实现

贝祖等式和编程实现涉及的坑比较深，此外数论背景部分要加上实例说明，待更新。

1 RSA加密算法简介

1.1 RSA算法实现步骤[3]

RSA算法是一种典型的非对称加密算法，本小节将简要介绍RSA算法的实现步骤，对RSA算法原理的分析则留到第3章叙述。RSA算法实现通信的加、解密分为6个步骤，如下：
1） $随机找两个质数p和q:$
比如 $p = 67 ，q = 71$ p与q越大，越安全。
2） $计算p,q的乘积n = p\cdot q = 4757$
转化为二进制1001010010101，该加密算法即为13位，实际算法是1024位或2048位，位数越长，算法越难被破解。
3） $计算n的欧拉函数 \varphi(n),记为m$
欧拉函数的定义见定义2.1.7，根据定理2.2.12及定理2.2.17易知， $\varphi(n) = (p-1)\cdot (q-1)$
于是有 $m=\varphi (4757) = 66\cdot 70 = 4620$
4） $随机选择整数e作为公钥，满足1<e<m，e与m互素：$
两整数互素的定义见定义2.1.4，此处，随机选择 $e = 101$
需要注意的是，不能选择e=4619,如果选择这个作为公钥，会使公钥、私钥相同。
5） $使用广义欧几里得除法计算e的模反元素d$
模反元素的定义详见定义2.1.12，
根据定义2.1.12，有 $e\cdot d\equiv 1(mod \ m)$
根据定义2.1.2 同余的定义以及定义2.1.1 整除的定义，上式等价于： $\exists k\in\mathbb{Z}，满足ed=km+1\tag{式1.2.1}$
式1.2.1中， $e=101,m=4620$
于是原式变化为， $101\cdot d - k\cdot 4620 = 1$
于是，对私钥d的求解转化为求上述二元一次不定方程的一组整数特解，使用广义欧几里得除法可以很轻松地做到这一点。广义欧几里得除法将在对定理2.2.5 贝祖等式的证明中详细说明，这里不做过多介绍，仅给出d,k的一个特解: $d=1601,k=35$
6） $将n,e封装成公钥，n,d封装成密钥$
在本节实例中，公钥为： $(4757,101)$ 私钥为： $(4757,1601)$
实际应用中，公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达。

RSA算法的加密过程如下：
比如甲向乙发送汉字“中”，乙方需先将自己的公钥（n，e) = (4757,101)以明文的形式发送给甲，甲再使用公钥加密汉字 "中"，以 utf-8 方式编码为 [e4 b8 ad]，转为 10 进制为 [228,184,173]。要想使用公钥（n，e) = (4757 , 101)加密，要求被加密的数字必须小于 n，被加密的数字必须是整数，字符串可以取 ascii 值或unicode值，因此将“中”字折为三个字节 [228,184,173]，分别对三个字节加密。
假设 a 为明文（a < n），b 为密文，则按下列公式计算出 b: $b = a^{e} \ mod \ n$
于是明文[228,184,173]加密为： $228^{101} \ mod \ 4757 = 4296$ $184^{101} \ mod \ 4757 = 2458$ $173^{101} \ mod \ 4757 = 3263$ 即[4296,2458,3263]。

RSA算法的解密过程如下：
乙收到密文，使用自己的私钥（n，d) =(4757,1601)解密，解密公式如下： $a = b^{d} \ mod \ n$
于是密文[4296,4757,3263]解密为： $4296^{1601} \ mod \ 4757 = 228$ $2458^{1601} \ mod \ 4757 = 184$ $3263^{1601} \ mod \ 4757 = 173$ 解密结果为[228,184,173]，再按UTF-8字符集解码[228,184,173]得到汉字“中”，完成解密。

1.2 RSA算法可靠性的简要分析[2]

1.2节中的密钥生成步骤中，共出现了6个数字：

$p,q,n,m=\varphi(n),e,d$

其中，n,e以明文的形式发送，其余p,q,m,d由接收方或着说公私密钥对生成方保存。

现在考虑在已知n,e的情况下，能否推导出d?

$1)根据e\cdot d \equiv 1(mod \ m)，已知m才能推导出d;$
$2)m=\varphi(p\cdot q)=(p-1)\cdot (q-1)，已知p,q才能推导出m;$
$3)n = p\cdot q，只有将n因式分解，才能计算出p,q。$

结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。

可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：

"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"

举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

12301866845301177551304949
58384962720772853569595334
79219732245215172640050726
36575187452021997864693899
56474942774063845925192557
32630345373154826850791702
61221429134616704292143116
02221240479274737794080665
351419597459856902143413

它等于这样两个素数的乘积：

33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
　　　　×
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917

事实上，这大概是人类已经分解的最大整数了（232个十进制位，768个二进制位），比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

2 数论背景简介

在介绍RSA算法数学原理之前，需对一些数论中的基本定义、定理作简要介绍。本章节仅尝试使读者对相关定义、定理有一个基本理解，满足能应用的要求即可，对相关定理的详细证明参见第4章“相关数学定理的证明”。此外，本文并不试图构建完整、严谨的数论体系，对涉及到的数论定理的证明，基于本章节的基本定义、以及一些“直觉上很显然的事实”推出。需要系统学习数论相关知识的读者，可以研读如《柯召数论讲义》、《信息安全数学基础》等书籍。

为缩短文章篇幅，对本章节的定义、定理的描述中使用了集合论、布尔代数中的基本数学符号，相关数学符号的定义详见附录A，对于集合论、布尔代数等中学知识，限于篇幅，本文不作赘述。

2.1 基本定义[1]

定义2.1.1 整除

$a,b\in \mathbb{Z}，b≠0，若\exists q\in \mathbb{Z},满足a = q\cdot b，$
$则称{\bf b整除a}，或者{\bf a被b整除}，记作{\bf b\mid a}，b称为a的{\bf因数}，$
$a称为b的{\bf倍数}；否则，称b不能整除a，记作{\bf b\nmid a}。$

定义2.1.2 同余

$对给定m\in \mathbb{Z}，m>0，若m\mid (a-b)，则称a,b模m{\bf同余}，$
$记作{\bf a\equiv b(mod\ m)}；否则，称a,b模m{\bf不同余}。$

定义2.1.3 素数、合数

$n\in\mathbb{Z}，n\neq 0，n\neq \pm1，若n除了显然因数\pm1,$
$\pm n外，没有其他因数，则称n为{\bf素数}，一般记作p；否则，称n为{\bf合数}。$

定义2.1.4 公因数、最大公因数、互素

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\in\mathbb{Z}，若d\in\mathbb{Z}，且满足$
$d\mid a_{i} (i = 1,2,...,n)，则称d为a_{1},a_{2},...,a_{n}的{\bf 公因数}；$
$若a_{1},a_{2},...,a_{n}不全为0，则a_{1},a_{2},...,a_{n}所有公因数中$
$最大的一个称为a_{1},a_{2},...,a_{n}的{\bf最大公因数}，记作{\bf (a_{1},a_{2},...,a_{n})}；$
$特别地，若(a_{1},a_{2},...,a_{n}) = 1，则称a_{1},a_{2},...,a_{n}{\bf 互素}。$

定义2.1.5 公倍数、最小公倍数

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\in\mathbb{Z}，若D \in \mathbb{Z},a_{i}\mid$
$D(i = 1,2,...,n)，则称D为a_{1},a_{2},...,a_{n}的{\bf公倍数}；$
$a_{1},a_{2},...,a_{n}的所有公倍数中最小的正整数称为$
$a_{1},a_{2},...,a_{n}的{\bf最小公倍数}，记作{\bf[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}。$

定义2.1.6 不完全商、余数

$定理2.2.4式2.1中，q称为a被b除所得的{\bf不完全商}，r称为a被b除所得的{\bf余数}。$

定义2.1.7 欧拉(Euler)函数

$m \in\mathbb{Z}，m>0，则m个整数1,2,...,m-1,m中与m互素的整数个数，记作{\bf\varphi (m)}。$

定义2.1.8 剩余、剩余类

$定义C_{a}=\{c|c\in\mathbb{Z},c\equiv a(mod \ m) \}，C_{a}称为模m的a的{\bf剩余类}，$
$一个剩余类中的任意一个数称为该剩余类的{\bf剩余}。$

定义2.1.9 完全剩余系

$若r_{0},r_{1}...,r_{m-1}\in\mathbb{Z}，且其中任意两个数均不在同一个剩余类里，$
$则r_{0},r_{1}...,r_{m-1}\in\mathbb{Z}称为{\bf模m的完全剩余系}。$

模m的剩余类有m个，即 $C_{0},C_{1},...,C_{m-1}$
它们作为新的元素组成的新的集合，记作 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} = \{C_{a}|1\leq a\leq m-1\}$
特别地，当m=p为素数时，也记作 $\mathbb{F}_{p}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} =\{C_{a}|1\leq a\leq p-1\}$
${\bf注1.1.1} ，\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}中元素间加法运算定义为C_{a} + C_{b} :=C_{a+b}，$
$由定理2.2.10易证，该元素间加法的定义不依赖于元素的选取。$
${\bf注1.1.2}， \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}中元素间乘法运算定义为C_{a} \cdot C_{b} :=C_{a\cdot b}，$
$由定理2.2.10易证，该元素间乘法的定义不依赖于元素的选取。$

定义2.1.10 简化剩余、简化剩余类

$若一个模m的剩余类中的数与m互素，则把它称为{\bf模m的简化剩余类}，$
$简化剩余类中的剩余称为{\bf简化剩余}。$

${\bf注1.1.3}，易证，简化剩余类的定义与剩余的选取无关。$
${\bf注1.1.4}，易证，两个简化剩余的乘积仍是简化剩余。$

定义2.1.11 简化剩余系

$m\in\mathbb{z}，m>0，在模m的所有不同的简化剩余类中，从每个类任取一个剩余组成的整数的集合，$
$称为{\bf模m的简化剩余系}。$

模m的简化剩余类的全体所组成的集合记作 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{*}=\{C_{a},|0\leq a\leq m-1,(a,m)=1\}$
特别地，当m=p为素数时，也记作 $\mathbb{F}^{*}_{p}=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*} =\{C_{1},C_{2},...,C_{p-1} \} =\mathbb{F}_{p}/\{C_{0}\}$

定义2.1.12 模反元素

$对定理2.2.15中的整数a而言，a^{'}为a对模m的模反元素。即，$
$对a,m\in\mathbb{Z}，m>0，（a,m)=1，存在唯一的a^{'}\in\mathbb{Z}，$
$1\leq a^{'}<m，满足a\cdot a^{'}\equiv 1(mod \ m)，此时，整数a^{'}称为a对模m的模反元素。$

2.2 基本定理

定理2.2.1 整除的传递性

$a,b,c\in \mathbb{Z}，且a,b,c\neq0，b\mid a，c\mid b$
$\Longrightarrow c\mid a$

定理2.2.2 整系数线性组合

$a,b,c\in \mathbb{Z}，且a,b,c\neq0，c\mid a，c\mid b$
$\Longrightarrow 对\forall s,t\in \mathbb{Z}，c\mid (s\cdot a + t\cdot b)$

定理2.2.3

$a,b\in\mathbb{Z}，a,b\neq 0，若a\mid b，b\mid a，$
$\Longrightarrow a = \pm b$

定理2.2.4 欧几里得除法

$a,b\in\mathbb{Z}，b>0，$
$\Longrightarrow 存在唯一的q,r\in\mathbb{Z}，满足$
$a= q\cdot b + r，0\leq r<b....... (2.1)$

定理2.2.5 贝祖(Bezout)等式

$a,b\in\mathbb{Z}，a,b > 0，$
$\Longrightarrow\exists s,t\in\mathbb{Z}，满足s\cdot a + t\cdot b = (a,b)$

定理2.2.6

$a,b\in\mathbb{Z}，a,b不全为0，d\in\mathbb{Z}，d>0，$
$若d=(a,b)$
$\Longleftrightarrow (i)d\mid a，d\mid b；(ii)对\forall e\in\mathbb{Z}满足e\mid a,e\mid b，恒有e\mid d。$

定理2.2.7

$a,b,c\in \mathbb{Z}，且b,c\neq0，$
$若(a,c)=1$
$\Longrightarrow (ab,c)=(b,c)$

定理2.2.8

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\in\mathbb{Z}，若(a_{i},c)=1(1\leq i\leq n)$
$\Longrightarrow (a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n},c) = 1$

定理2.2.9 同余的性质

$对\forall a,m\in\mathbb{Z}，m\neq 0，$
$i)（自反性）\ a \equiv a\ (mod\ m);$
$ii)（对称性）若a\equiv b(mod\ m)，则b\equiv a(mod\ m);$
$iii)（传递性）若a\equiv b(mod\ m)，b\equiv c(mod\ m)，则a\equiv c(mod\ m)。$

定理2.2.10

$m\in\mathbb{Z}，m>0，a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in\mathbb{Z}，a_{1}\equiv b_{1}，a_{2}\equiv b_{2}，则有，$
$i) a_{1} + a_{2} \equiv b_{1} + b_{2}(mod \ m)$
$ii) a_{1} \cdot a_{2} \equiv b_{1} \cdot b_{2}(mod\ m)$

定理2.2.11

$m,a,b,d\in\mathbb{Z}，m\neq 0，d\cdot a \equiv d\cdot b(mod\ m)，若(d,m) = 1$
$\Longrightarrow a\equiv b(mod\ m)$

定理2.2.12

$p为素数，$
$\Longrightarrow \varphi(p) = p-1$

定理2.2.13

$m\in\mathbb{Z}，r_{1},r_{2},...r_{\varphi (m)}\in\mathbb{Z}，$
$(r_{i},m)=1 (1\leq i\leq \varphi (m))，且对\forall i,j\in (0,\varphi (m)],r_{i}与r_{j}不同余，$
$\Longrightarrow r_{1},r_{2},...r_{\varphi (m)}为模m的简化剩余系。$

定理2.2.14

$a,m\in\mathbb{Z}，(a,m)=1，若k遍历模m的简化剩余系$
$\Longrightarrow a\cdot k也遍历模m的简化剩余系。$

定理2.2.15

$a,m\in\mathbb{Z}，m>0，（a,m)=1，$
$\Longrightarrow 存在唯一的a^{'}\in\mathbb{Z}，1\leq a^{'}<m，满足a\cdot a^{'}\equiv 1(mod\ m)$

定理2.2.16

$m_{1},m_{2}\in\mathbb{Z}，m_{1},m_{2}>0，(m_{1},m_{2})=1，若k_{1},k_{2}分别遍历模m_{1},模m_{2}的简化剩余系，$
$\Longrightarrow m_{2}\cdot k_{1}+m_{2}\cdot k_{1}遍历m_{1}\cdot m_{2}的简化剩余系。$

定理2.2.17

$m,n\in\mathbb{Z}，m,n>0，(m,n)=1，$
$\varphi (m\cdot n) = \varphi (m)\cdot \varphi(n)。$

定理2.2.18 欧拉(Euler)定理

$m\in\mathbb{Z}，m>1，若a\in\mathbb{Z}，(a,m)=1，$
$\Longrightarrow a^{(\varphi(m))}\equiv 1(mod\ m)$

定理2.2.19 费马(Fermat)小定理

$p为素数，$
$\Longrightarrow 对\forall a\in\mathbb{Z}，a^{p}\equiv a(mod\ p)$

定理2.2.20

$a,b,c\in\mathbb{Z}，且 a,b,c\neq 0，若a=q\cdot b+c，q\in\mathbb{Z}，$
$\Longleftrightarrow (a,b)=(b,c)$

定理2.2.21

$m\in\mathbb{Z}，对\forall a\in\mathbb{Z}，令C_{a}=\{c\mid c\in\mathbb{Z},c\equiv a(mod\ m)\}，则：$
$i)任何整数必然包含在一个C_{r}中，其中0\leq r< m；$
$ii)C_{a}=C_{b}\Longleftrightarrow a\equiv b(mod \ m)；$
$iii)C_{a}\bigcap C_{b}=\emptyset，\Longleftrightarrow a,b模m不同余。$

定理2.2.22

$m_{1}，m_{2}\in\mathbb{Z}，(m_{1},m_{2})=1，$
$若k_{1}，k_{2}分别遍历m_{1}，m_{2}的完全剩余系，$
$则k_{1}\cdot m_{2}+k_{2}\cdot m_{1}遍历m_{1}\cdot m_{2}的完全剩余系。$

定理2.2.23

$m\in\mathbb{Z}，a\equiv b(mod \ m)，若d\mid m，则a\equiv b(mod \ d)。$

定理2.2.24

$a,b,c\in\mathbb{Z}，c\neq 0，若c\mid a\cdot b，(a,c)=1，则c\mid b。$

定理2.2.25

$m\in\mathbb{Z}，则m个整数r_{0},r_{1},\cdots ,r_{m-1}为模m的一个完全剩余系$ $的充分必要条件是r_{0},r_{1},\cdots ,r_{m-1}模m两两不同余。$

3 RSA加密算法的数学原理

3.1 RSA加密算法的数学语言描述

将1.2节中对RSA加密过程的描述转化为数学语言：
1） $随机选取两个素数p,q，计算n=p\cdot q；$
2） $计算n的欧拉函数m=\varphi(n)；$
3） $随机选取e\in\mathbb{Z}，满足(e,m)=1；$
4） $计算e模m的模反元素d，即d满足e\cdot d\equiv 1(mod\ m)；$
5） $公钥对为(e,n)，私钥对为(d,n)；公、私密钥对由接收方负责生成，$
$接收方生成密钥对后，将公钥对明文发送给发送方，自己保留私钥对，$
$发送方通过公钥对加密明文，将加密后的密文发送给接收方，接收方接受密$
$文后使用私钥对解密密文，还原明文；$
6） $假定需发送的明文为a（需满足a<n），则密文c=a^{e}(mod\ n)；$
$接收方接收到密文c后，计算c^{d}(mod \ n)即可还原出明文a。上述过程$
$等价于如下命题，a^{e\cdot d}\equiv a(mod\ n)，由定理2.2.10易知两者的等价性。$

3.2 RSA加密算法证明

对3.1节所描述的数学问题证明如下：
1） $若(a,n)=1，$
$则由定理2.2.18欧拉定理，易知，a^{m}\equiv 1(mod\ n)，其中，m=\varphi (n)，$
$由e\cdot d\equiv 1(mod\ m)，记e\cdot d=k\cdot m+1(k\in\mathbb{Z})，$
$\Longrightarrow a^{e\cdot d}=a^{k\cdot m+1}=a\cdot a^{k\cdot m}，$
$由定理2.2.10易知，a\cdot a^{k\cdot m}\equiv a\cdot 1^{k}(mod\ n)，即a^{1+k\cdot m}\equiv a(mod\ n)，$
$又e\cdot d=k\cdot m+1，显然有，a^{e\cdot d}\equiv a(mod\ n)；$
$2）$
$若(a,n)\neq 1，$
$又a<n，易知a的素因子只能有p或者q，不可能同时有p\cdot q，$
$这里，不妨设，a=k\cdot p，k\in\mathbb{Z}，由上述推理易知，(k,q)=1，$
$又(p,q)=1，由定理2.2.8可得，(kp,q)=1，$
$由定理2.2.18欧拉定理可知，(kp)^{q-1}\equiv 1(mod\ q)，$
$又e\cdot d\equiv 1(mod \ m)，不妨设e\cdot d =h\cdot m + 1，h\in\mathbb{Z}，$
$根据定理2.2.12及定理2.2.17，m=(p-1)\cdot (q-1)，$
$因此，e\cdot d = h\cdot (p-1)\cdot (q-1)+1，$
$\Longrightarrow (k\cdot p)^{e\cdot d}=(k\cdot p)^{h\cdot (p-1)\cdot (q-1)+1}=k\cdot p\cdot ((k\cdot p)^{q-1})^{h\cdot (p-1)}，$
$由定理2.2.10易知，k\cdot p\cdot ((k\cdot p)^{q-1})^{h\cdot (p-1)}\equiv k\cdot p\cdot 1^{h\cdot (p-1)}(mod\ q)=k\cdot p(mod\ q)，$
$\Longrightarrow (k\cdot p)^{e\cdot d}\equiv k\cdot p(mod \ q)，$
$不妨设，(kp)^{e\cdot d}=k\cdot p+t^{'}\cdot q，$
$显然，p|(k\cdot p)^{e\cdot d}，由定理2.2.2可知，p|t^{'}，$
$不妨设，t^{'}=s^{'}\cdot p，于是有，a^{e\cdot d}=(k\cdot p)^{e\cdot d}=k\cdot p+s^{'}\cdot p\cdot q=a + s^{'}\cdot n，$
$\Longrightarrow a^{e\cdot d}\equiv a(mod\ n)；$
$综1）、2），对\forall a\in\mathbb{Z}，a<n，a^{e\cdot d}\equiv a(mod\ n)，QED。$