2. 平均值，标准差，期望: 标准差

1. 方差和标准差：数据的离散情况

方差是各个数据对均值的偏离程度，但是根据（均值的性质1.1），各项减均值差的和是0，为了避免这个问题，把所有的差都做一个平方就可以了。对于一个变量X，它的方差VAR（X）是

VAR(X)=\frac{\sum{(x-\bar{x})^2}}{n} (2.1)

而标准差就是方差的正平方根：

std(x) = \sqrt{VAR(X)}

对于上篇里的这组数据2，4，5，8，2，3，5，6，8，2，可以求出：

VAR(X) = \frac{(2-4.5)^2+(4-4.5)^2+(5-4.5)^2+...(2-4.5)^2}{10}=4.85

分子部分就是上面说的，通过求差的平方和避免所有差的和总是0。那么除以n又是为什么呢？比如我们考虑把上面的这10个数据复制粘贴一下，现在变成2，4，5，8，2，3，5，6，8，2，2，4，5，8，2，3，5，6，8，2了。那么分子部分会变成原来的2倍对吧？不过不用担心，因为项数n也变成了原来的2倍，所以方差最后还是4.85。

所以方差相当于是消减掉项数对于方差可能的影响。而方差的分子部分：\sum{(x-\bar{x})^2}，一般也叫做sum of squares，也就是平方的和。这个sum of squares在方差分析的时候还会提到。

2. 方差的几个性质

还是用3,5,7这三个数据作为例子。当所有的项都加上一个常数，比如说2的时候：

VAR(X+c)=\frac{(3+2-(5+2))^2+(5+2-(5+2))^2+(7+2-(5+2))^2}{3}=\frac{(2)^2+(0)^2+(2)^2}{3}=2.667

因为

VAR(X)=\frac{\sum{(x-\bar{x})^2}}{n}=\frac{\sum{(x+c-(\bar{x}+c))^2}}{n}

每一个项都加上c的时候平均值也要加上c (由1.2)，于是方差还是原来的方差

VAR(X+c)=VAR(X) (2.2)

考虑另外一种情况，当所有的项都乘以同一个常数c的时候，新的方差：

VAR(cX)=\frac{\sum{(cx-\bar{cx})^2}}{n}=\frac{\sum{(cx-c\bar{x})^2}}{n}=\frac{\sum{(x-\bar{x})^2 \times c^2}}{n}=c^2 \times VAR(X) (2.3)

对标准差来说std(cX)=c \times std(X)

注：本篇主要来源于《数理统计初级教程》

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