近世代数理论基础29:代数扩张

代数扩张

代数扩张

定义:设E是域F的一个扩张,若E中任一元都是F上的代数元,则称E为F的一个代数扩张

扩张次数

若E是F的扩张,\alpha_1,\alpha_2为E中任意两个元,c_1,c_2为F中任意两个元,则c_1\alpha_1+c_2\alpha_2\in E,E可看成F上的向量空间

定义:设E是F的扩张,若E作为F上的向量空间是n(n\lt \infty)维的,则称E是F的一个n次扩张,且记n=[E:F],此时也称E为F的一个有限扩张,若E作为F上的向量空间是无限维的,则称E为F的一个无限扩张

定理:若K是F的有限扩张,E是K的有限扩张,则E也是F的有限扩张,且[E:F]=[E:K][K:F]

证明:

设[E:K]=m,[K:F]=n

\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n是K作为F上的向量空间的一组基

\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m是E作为K上的向量空间的一组基

对E中元\alpha_i\beta_j,1\le i\le n,1\le j\le m

下证它构成F上的向量空间E的一组基

若\sum\limits_{i,j}a_{ij}\alpha_i\beta_j=0,a_{ij}\in F

则\sum\limits_{j}(\sum\limits_{i}a_{ij}\alpha_i)\beta_j=0

\because \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m在K上线性无关,且\sum a_{ij}\alpha_i\in K

\therefore \sum\limits_{i}a_{ij}\alpha_i=0,1\le j\le m

\because \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n在F上线性无关,且a_{ij}\in F

\therefore a_{ij}=0,1\le i\le n,1\le j\le m

\therefore \{\alpha_i\beta_j|1\le i\le n,1\le j\le m\}在F上线性无关

若\alpha是E中任一元,则\exists u_j\in K,1\le j\le m,使\alpha=\sum\limits_{j=1}^mu_j\beta_j

\forall u_j\in K,\exists b_{ij}\in F,1\le i\le n,使u_j=\sum\limits_{i=1}^nb_{ij}\alpha_i

\therefore \alpha=\sum\limits_{i,j}b_{ij}\alpha_i\beta_j

\therefore \{\alpha_i\beta_j|1\le i\le n,1\le j\le m\}构成E在F上的一组基

\therefore [E:F]=mn=[E:K][K:F]

例:\Q(\sqrt{2},i)\supset \Q(\sqrt{2})\supset \Q

[\Q(\sqrt{2})(i):\Q(\sqrt{2})]=2,[\Q(\sqrt{2}):\Q]=2

[\Q(\sqrt{2},i):\Q]=4,又1,i为\Q(\sqrt{2})(i)\Q(\sqrt{2})的一组基,1,\sqrt{2}\Q(\sqrt{2})\Q上的一组基

故1,\sqrt{2},i,\sqrt{2}i\Q(\sqrt{2},i)\Q上的一组基

推论:若F,K,E是域,且F\subset K\subset E,E为F的有限扩张,则[K:F]|[E:F]

推论:若F,F_1,\cdots,F_t是域,其中后一个是前一个的有限扩张,则[F_t:F]=[F_t:F_{t-1}]\cdot [F_{t-1}:F_{t-2}]\cdots [F_1:F]

定理:若\alpha是F上的一个代数元,则单扩张E=F(\alpha)是F的一个代数扩张,同时也是一个有限扩张,扩张次数[E:F]等于\alpha在F上的代数次数

证明:

设\alpha在F上的次数为n

E中任一元都可唯一表成

a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1},a_i\in F

即1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}构成F上向量空间E的一组基

且[E:F]=n

若\beta是E中任一元

则n+1个元1,\beta,\beta^2,\cdots,\beta^n在F上一定线性相关

即存在F中不全为0的元b_0,b_1,\cdots,b_n,使得

b_0+b_1\beta+\cdots+b_n\beta^n=0

\therefore \beta 是F上的代数元

\therefore E是F的代数扩张\qquad\mathcal{Q.E.D}

注:

1.任一域F的有限扩张一定是代数扩张

2.若\alpha是F上的n次代数元,则F(\alpha)是F上的n维向量空间,设F为域K的子域,若\alpha是F上的代数元,显然\alpha也是K上的代数元

推论:若\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n是F上的代数元,则E=F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)是F上的有限次代数扩张

证明:

\because \alpha_1是F上的代数元

\therefore F(\alpha_1)是F的有限扩张

\because \alpha_2是F上的代数元

\therefore \alpha_2也是F(\alpha_1)上的代数元

\therefore F(\alpha_1,\alpha_2)是F的有限扩张​

由归纳法可证结论\qquad\mathcal{Q.E.D}​

推论:域F上的两个代数元的和差积商(分母不为0)仍是F上的代数元

定理:若集合S中的元都是F\subset E上的代数元,且S\subset E,则F(S)\subset E是F的代数扩张

证明:

若\beta 是F(S)中任一元

则\beta 可表成\beta={f_1(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\over f_2(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)}

其中\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n是S中有限个元

f_1,f_2是F上\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n的多项式

\therefore \beta\in F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)

\therefore \beta是F上的代数元\qquad\mathcal{Q.E.D}

例:显然,\Q\subset \Q(\sqrt{2})\subset (\sqrt{2},\sqrt{3}),且[\Q(\sqrt{2}):\Q]=2,[\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}):\Q(\sqrt{2})]=2

[\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}):\Q]=4,令\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}\in \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})

易证\sqrt{2}={\alpha^2-1\over 2\alpha}\in \Q(\alpha),\sqrt{3}={\alpha^2+1\over 2\alpha}\in \Q(\alpha)

\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})\subset \Q(\alpha)

显然\Q(\alpha)\subset \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})

\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})=\Q(\alpha)

[\Q(\alpha):\Q]=[\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}):\Q]=4

\alpha\Q上的4次代数元

\alpha^2=5+2\sqrt{6},故(\alpha^2-5)^2=24

\alpha\alpha^4-10\alpha^2+1的根

x^4-10x^2+1\alpha\Q上的极小多项式

©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 216,258评论 6 498
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 92,335评论 3 392
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 162,225评论 0 353
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 58,126评论 1 292
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 67,140评论 6 388
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 51,098评论 1 295
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 40,018评论 3 417
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 38,857评论 0 273
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 45,298评论 1 310
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 37,518评论 2 332
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 39,678评论 1 348
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 35,400评论 5 343
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 40,993评论 3 325
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 31,638评论 0 22
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 32,801评论 1 268
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 47,661评论 2 368
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 44,558评论 2 352

推荐阅读更多精彩内容