背景介绍
基金的收益和收益率计算至少包括两个维度的概念：
基金本身的收益计算：即基金经理管理的整个基金资产的收益计算，所计算的主体是基金资产。普通基金的收益需根据基金业协会制定的《中国基金估值标准》，由基金管理人及基金托管人分别计算。普通投资者看到的基金收益体现在基金净值（净值型基金）或万份收益（货币基金）的变动上；
基金投资者的收益计算：即投资者所投资的基金持仓的收益计算，所计算的主体是客户持有的基金，一般由基金销售机构或投资者自行计算；
在基金的分红中已通过例子说明，投资者的收益与基金本身收益没有必然的联系。
基金的总投资收益可分为：
未实现收益，也叫浮动收益，即当前持仓资产的公允价格/公允价值变化产生的浮动收益，在基金估值标准中称为“公允价值变动损益”；
已实现收益，即股利收益或已经卖出资产实现的价差收益，在基金估值标准中称为“投资收益”。如基金分红就可以当作投资收益（股利收益）；
总投资收益公式：
投资收益=未实现收益+已实现收益
本文主要介绍基金视角和投资者视角的总投资收益和收益率的计算。
投资收益率的简单公式
不考虑基金的认购/申购/赎回/分红/折算等，期末市值等于期初市值乘以（1+r ）：
收益率为：
其中，VE 为期末权益/市值，VS 为期初权益/市值。
举例：
某投资者持有基金100份，5.21日基金单位净值为1.0100元，5.22日单位净值为1.0200元。
5.21日到5.22日的收益率r=（100*1.0200-100*1.0100）/（100*1.0100）=0.99%。
上述公式没有考虑外部现金流（External Flows）的影响。
何为外部现金流？将投资者的基金持仓（不包括现金）或基金的整体资产看作一个整体，从外部流入的现金或资金可以视为外部现金流。当发生外部现金流时，需要考虑外部现金流的大小和流入时间，方可正确计算收益率。
简单内部收益率（Simple Internal Rate of Return）
为考虑外部现金流对收益率的影响，上述公式变为：
可以将该公式理解为累计的外部现金流C 在收益率计算区间的中点流入，并与期初资产一样按照收益率r 产生收益，达到期末资产净值VE 。
简单Dietz方法（Simple Dietz Method）
简单内部收益率公式为超越函数，需通过数值法迭代计算，手工计算较复杂。考虑到该公式的一个隐含含义为“复利”，因此若假设为“单利”，则上述公式可以简化为：
演算过程为：
举例：
5.21日某投资者持有某基金100份，5.22日申购1020元（此处为投资者视角的收益率，不考虑申购费）。
收益率r=(1133-101-1020)/(101+1020/2)=1.96%。
投资收益
收益率公式的分子可以理解为投资收益，分母可以理解为等效投资成本，则投资收益公式为：
当发生申购时现金流流入Cp，发生赎回时现金流流出Cr，分红时现金流流出Ci ，总现金流为：
假设期初持仓为0，得到：
即为基金单位净值、申购和投资收益一文中的收益计算公式。
修正内部收益率法（Modified Internal Rate of Return）
以上两个公式均假设外部现金流在区间中点流入，如果不满足这个条件或者想计算更准确的收益率，应如何计算？
根据简单内部收益率法，可以推测：如果将每次的现金流均以收益率r 产生收益，则收益率公式变为：
其中，
Ct 为每次的外部现金流，TD为整个计算周期的天数，Dt 为期初到发生现金流的天数（包括非交易日）。
修正Dietz方法（Modified Diets Method）
同样的，该函数为超越函数，将“复利”改为“单利”，可以得到：
演算过程为：
举例：
5.21日某基金净资产为101万，5.22日外部投资者申购流入1020万元，5.25日外部投资者申购流入1030万元（此处为基金视角的收益率，5.23和5.24为非交易日）。
1.假设外部现金流在盘前流入（基金经理可将该笔资金用作当天投资），则：
收益率r=(2205-101-1020-1030)/(101+1020*5/6+1030*2/6)=4.17%。
其中，外部现金流1020的时间权重为5/6（即基金经理只有5.22-5.26号5天可将该笔资金用作投资），外部现金流1030的时间权重为2/6（即基金经理只有5.25-5.26号2天可将该笔资金用作投资）。
2.假设外部现金流在盘后流入（可用作第二天投资），则：
收益率r=(2205-101-1020-1030)/(101+1020*4/6+1030*1/6)=5.67%。
其中，外部现金流1020的时间权重为4/6（即基金经理只有5.23-5.26号4天可将该笔资金用作投资），外部现金流1030的时间权重为1/6（即基金经理只有5.26号1天可将该笔资金用作投资）。
外部现金流的判断
在实际计算中，一笔交易是否应当做外部现金流应根据实际情况判断。
案例1，基金本身收益率计算：某基金期初资产为现金1000万元，基金经理使用基金资产中的现金申购其他基金200万。由于使用的现金属于基金本身资产的一部分，计算金额加权收益率时，申购资金不当做外部现金流。
案例2，投资者收益率计算：投资者银行账户有10万元，从该银行账户支付申购款10万元，由于申购的资金不属于客户的基金持仓，因此计算投资者基金持仓的金额加权收益率时，应当做外部现金流处理。
时间加权收益率（Time-Weighted Rate of Return (TWRR)）
以上公式均属于金额加权收益率（Money-Weighted Rate of Return (MWRR)或Dollar-Weighted Rate of Return）。
时间加权收益率计算每个发生现金流变动的子区间的收益率，并将不同区间的收益率连乘得到总收益率。
假设每个区间的现金流在期末流入，则时间加权收益率为：
如果令：
则可以简记为：
假设现金流在期初流入，则公式为：
假设现金流在区间中点流入，每个区间的收益率为：
对应时间加权收益率为：
因此，现金流流入的时间不同，收益率公式的形式略有不同，以准确反映现金流特点。
时间加权收益率要求每次发生现金流时都需对基金进行估值，而金额加权收益率只需在需要时计算一次，因此时间加权收益率一定程度上增加了基金的运营成本。这也是很多定期开放基金在非开放交易日不进行估值，但均会在开放日估值的原因。
假设NAVi 为基金在第i 天的单位净值，则其时间加权收益率为：
时间加权收益率概念也是基金的累计单位净值和复权单位净值一文中使用复权单位净值增长率计算基金（时间加权）收益率的理论基础。国内的每天开放申赎的开放式基金一般均会在每个交易日估值，因此可通过每天净值数据计算任意区间时间加权收益率。
金额加权收益率与时间加权收益率的比较
1.对投资者来讲，金额加权收益率可以反映投资者投资的主动择时效果，时间加权收益率无法反映。
举例：
两个投资者投资相同基金相同金额，如果投资者甲在低点买入高点卖出，投资者乙在高点买入低点卖出，则投资者甲的金额加权收益率更高。
2.投资者的金额加权收益率可与该投资者或其他投资者的其他投资收益率做直接对比，以评估投资效果，而时间加权收益率无法直接对比。
举例：
某投资者2019年投资某基金的金额加权收益率为3.68%，投资某银行理财产品的收益率为3.81%，则可以认为2019年整体看来，该银行理财产品的收益率更高。
3.从投资经理角度来看，由于外部投资者可能在不同时间投入不同金额（通过申购等形式），投资经理无法控制外部现金流及其对金额加权收益率的影响，因此为评价不同基金及其基金经理的投资表现，应采用时间加权收益率而非金额加权收益率，以剔除外部现金流的影响。
4.采用金额加权收益率时，所有不同时间流入流出的现金流收益率均为r ，无法计算区间内不同时间段的收益率。如果基金每天均进行估值，通过时间加权收益率可以灵活计算不同区间的收益率。
根据基金单位净值计算的时间加权收益率与内部计算的时间加权收益率异同
从投资者角度，假设投资者在T日申购某基金1万元，T日单位净值1元。不考虑申购费，T+1日确认1万份。如果T+1日单位净值为1.1元，则T+1日收益为1000元，收益率为10%。
从基金的角度，T日投资者申购的1万元一般在T+2日交收给基金账户，基金经理可能在T+3日才能运用这笔资金。
因此，投资者在T+1日获得的收益并不是投资者投入的1万元所产生，而是其他已有投资者的资产所产生的收益。
对基金经理而言，根据实际现金流到账日期计算的时间加权收益率比根据单位净值计算的时间加权收益率更能准确反映投资经理的投资效果。
参考资料
1.Carl Bacon.Practical Portfolio Performance Measurement and Attribution. West Sussex: Wiley, 2003. ISBN 0-470-85679-3
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